Dağılım ilişkisi - Dispersion relation

Bir prizmada dağılım , farklı renklerin farklı açılarda kırılmasına ve beyaz ışığın bir gökkuşağı rengine bölünmesine neden olur .

İçinde fiziksel bilimler ve elektrik mühendisliği , dispersiyon ilişkileri etkisini tarif dispersiyon bir ortam içinde dalgaların özelliklerini. Bir dağılım ilişkisi , bir dalganın dalga boyu veya dalga sayısı ile frekansı arasında ilişki kurar . Dağılım ilişkisi göz önüne alındığında, ortamdaki dalgaların faz hızı ve grup hızı frekansın bir fonksiyonu olarak hesaplanabilir . Geometriye bağlı ve malzemeye bağlı dağılım ilişkilerine ek olarak, kapsayıcı Kramers-Kronig ilişkileri , dalga yayılımı ve zayıflamasının frekans bağımlılığını tanımlar .

Dağılım, geometrik sınır koşullarından ( dalga kılavuzları , sığ su) veya dalgaların iletici ortamla etkileşiminden kaynaklanabilir. Madde dalgaları olarak kabul edilen temel parçacıklar , geometrik kısıtlamalar ve diğer ortamların yokluğunda bile önemsiz olmayan bir dağılım ilişkisine sahiptir.

Dağılımın varlığında, dalga hızı artık benzersiz bir şekilde tanımlanmaz, bu da faz hızı ve grup hızı ayrımına yol açar .

Dağılım

Dağılım, farklı dalga boylarındaki saf düzlem dalgaların farklı yayılma hızlarına sahip olduğu zaman meydana gelir, böylece karışık dalga boylarından oluşan bir dalga paketi uzayda yayılma eğilimi gösterir. Düzlem dalganın hızı , dalga boyunun bir fonksiyonudur : ${\görüntüleme stili v}$${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle v=v(\lambda ).\,}$

Dalganın hızı, dalga boyu ve frekansı, f , özdeşlik ile ilişkilidir.

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).\,}$

Fonksiyon , verilen ortamın dağılım ilişkisini ifade eder. Dağılım ilişkileri daha çok açısal frekans ve dalga sayısı cinsinden ifade edilir . Bu değişkenlerde yukarıdaki ilişkiyi yeniden yazmak, ${\ Displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.\,}$

şimdi f'yi k'nin bir fonksiyonu olarak görüyoruz . Dağılım ilişkisini tanımlamak için ω( k )'nin kullanımı standart hale gelmiştir çünkü hem faz hızı ω/ k hem de grup hızı dω/d k bu fonksiyon aracılığıyla uygun temsillere sahiptir.

Düşünülen düzlem dalgalar şu şekilde tanımlanabilir:

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t) )},}$

nerede

A , dalganın genliğidir,

A ₀ = A (0,0),

x , dalganın hareket yönü boyunca bir konumdur ve

t , dalganın tanımlandığı zamandır.

Vakumda düzlem dalgalar

Vakumdaki düzlem dalgalar, dalga yayılımının en basit halidir: geometrik kısıtlama yok, verici ortamla etkileşim yok.

Bir vakumda elektromanyetik dalgalar

Vakumdaki elektromanyetik dalgalar için açısal frekans dalga sayısıyla orantılıdır:

${\görüntüleme stili \omega =ck.\,}$

Bu doğrusal bir dağılım bağıntısıdır. Bu durumda, faz hızı ve grup hızı aynıdır:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c;}$

bunlar tarafından verilir , c , ışığın hızı vakum, bir frekansa bağlı sabit.

De Broglie dağılım ilişkileri

Günlük yaşamın birçok nesnesi için kinetik enerjiye karşı momentumun serbest uzay dağılımı grafiği

Toplam enerji, momentum ve parçacıkların kütlesi, Paul Dirac tarafından kurulan göreli dağılım ilişkisi aracılığıyla birbirine bağlanır :

${\displaystyle E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2},}$

hangi ultrarelativistik sınırda

${\görüntüleme stili E=pc}$

ve relativistik olmayan limitte

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}},}$

burada bir değişmez kütle . Göreli olmayan sınırda, bir sabittir ve momentum cinsinden ifade edilen tanıdık kinetik enerjidir . ${\görüntüleme stili m}$${\ Displaystyle mc^{2}}$${\ Displaystyle p^{2}/(2m)}$${\görüntüleme stili p=mv}$

Geçiş ultrarelativistic relativistik olmayan davranış gösterir için bir eğim değişimi olarak p için p ² log-log dispersiyon grafikte gösterildiği gibi E genel p .

Temel parçacıklar, atom çekirdekleri, atomlar ve hatta moleküller bazı bağlamlarda madde dalgaları gibi davranır. Göre de Broglie ilişkileri , bunların kinetik enerjisi e bir frekans olarak ifade edilebilir w , ve ivme p bir dalga sayısı olarak k , indirgenmiş kullanılarak, Planck'ın sabit H :

${\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k.}$

Buna göre açısal frekans ve dalga sayısı, göreli olmayan limitte okunan bir dağılım ilişkisi aracılığıyla bağlanır.

${\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}.}$

Animasyon: elektronların faz ve grup hızı

Bu animasyon, 0,4 angström genişliğinde bir alan üzerinde hareket eden üç serbest elektronun de Broglie fazını ve grup hızlarını (yavaş çekimde) tasvir eder . Orta elektronun birim kütle başına momentumu (uygun hız) ışık hızıdır, dolayısıyla grup hızı 0.707 c'dir . Üst elektron iki katı momentuma sahipken, alttaki elektron yarısına sahiptir. Momentum arttıkça, faz hızı c'ye düşerken, grup hızı c'ye kadar artar , dalga paketi ve faz maksimumları ışık hızına yakın hareket edene kadar dalga boyu sınırsız olarak azalmaya devam eder. Laboratuardaki bu tür yüksek enerjili elektronların hem enine hem de boyuna uyum genişlikleri (paket boyutları), burada gösterilenlerden çok daha büyük olabilir.

Frekansa karşı dalga sayısı

Yukarıda bahsedildiği gibi, bir ortamdaki odak absorpsiyondan ziyade kırılma üzerinde olduğunda - yani kırılma indisinin gerçek kısmında - açısal frekansın dalga sayısına fonksiyonel bağımlılığına dispersiyon ilişkisi olarak atıfta bulunmak yaygındır . Parçacıklar için bu, momentumun bir fonksiyonu olarak bir enerji bilgisine dönüşür.

Dalgalar ve optik

"Dağılım ilişkisi" adı aslında optikten gelir . Işığın efektif hızını dalga boyuna bağlı hale getirmek, ışığı sabit olmayan bir kırılma indisine sahip bir malzemeden geçirerek veya ışığı dalga kılavuzu gibi düzgün olmayan bir ortamda kullanarak yapmak mümkündür . Bu durumda dalga biçimi zamanla yayılacaktır, öyle ki dar bir darbe genişletilmiş bir darbe haline gelecektir, yani dağılacaktır. Bu malzemelerde grup hızı olarak bilinir ve darbenin tepe noktasının yayılma hızına karşılık gelir, faz hızından farklı bir değer . ${\displaystyle {\frac {\kısmi\omega }{\kısmi k}}}$

Derin su dalgaları

Derin su üzerinde yüzey yerçekimi dalgalarının frekans dağılımı. ■ faz hızıyla kırmızı kare hareket eder ve ● yeşil noktalar grup hızının yaymak. Bu derin su durumunda, faz hızı grup hızının iki katıdır. ■ sürede kırmızı kare traversler figür Tek gereken ● çapraz yarısına yeşil noktayı.

Derin su dalgaları için dağılım ilişkisi genellikle şu şekilde yazılır:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

burada g yer çekiminden dolayı ivmedir. Bu bakımdan derin su, genellikle su derinliğinin dalga boyunun yarısından daha büyük olduğu durum olarak ifade edilir. Bu durumda faz hızı

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

ve grup hızı

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

Bir dizedeki dalgalar

Dağıtıcı olmayan enine dalganın iki frekanslı vuruşları. Dalga yayılmadığı için ● faz ve ● grup hızları eşittir.

İdeal bir dizi için dağılım bağıntısı şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

burada T , ipteki gerilim kuvvetidir ve μ , ipin birim uzunluk başına kütlesidir. Vakumdaki elektromanyetik dalgalara gelince, ideal sicimler bu nedenle dağılmayan bir ortamdır, yani faz ve grup hızları eşit ve (birinci dereceden) titreşim frekansından bağımsızdır.

Rijitliğin hesaba katıldığı ideal olmayan bir dizi için dağılım ilişkisi şu şekilde yazılır:

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

dizeye bağlı bir sabit nerede . ${\görüntüleme stili \alfa }$

Katı hal

Katıların incelenmesinde, elektronların dağılım ilişkisinin incelenmesi büyük önem taşır. Kristallerin periyodikliği, belirli bir momentum için birçok enerji seviyesinin mümkün olduğu ve bazı enerjilerin herhangi bir momentumda mevcut olmayabileceği anlamına gelir . Tüm olası enerjilerin ve momentumların toplanması , bir malzemenin bant yapısı olarak bilinir . Bant yapısının özellikleri, malzemenin yalıtkan mı , yarı iletken mi yoksa iletken mi olduğunu tanımlar .

fononlar

Fotonlar ışık için neyse, fononlar da bir katıdaki ses dalgalarıdır: onlar onu taşıyan kuantalardır. Fononların dağılım ilişkisi de önemsiz değildir ve bir malzemenin akustik ve termal özellikleriyle doğrudan ilişkili olduğu için önemlidir. Çoğu sistem için fononlar iki ana tipte sınıflandırılabilir: Brillouin bölgesinin merkezinde bantları sıfır olan fononlara akustik fononlar denir , çünkü uzun dalga boyları sınırında klasik sese karşılık gelirler. Diğerleri optik fononlardır , çünkü elektromanyetik radyasyonla uyarılabilirler.

elektron optiği

Bir transmisyon elektron mikroskobunda yüksek enerjili (örneğin, 200 keV, 32 fJ) elektronlarla , yakınsak demet elektron kırınımı (CBED) modellerinde yüksek dereceli Laue bölgesi (HOLZ) çizgilerinin enerji bağımlılığı, aslında, birinin doğrudan bir kristalin üç boyutlu dağılım yüzeyinin görüntü kesitleri . Bu dinamik etki , kafes parametrelerinin, ışın enerjisinin ve daha yakın zamanda elektronik endüstrisi için hassas ölçümünde uygulama bulmuştur: kafes gerinimi.

Tarih

Isaac Newton prizmalardaki kırılmayı inceledi, ancak dağılım ilişkisinin maddi bağımlılığını fark edemedi ve bir prizmanın dağılımının ölçümü Newton'unkiyle eşleşmeyen başka bir araştırmacının çalışmasını reddetti.

Dalgaların su üzerindeki dağılımı , 1776'da Pierre-Simon Laplace tarafından incelenmiştir .

Kramers-Kronig ilişkilerinin (1926–27) evrenselliği, her tür dalga ve parçacığın saçılma teorisindeki dağılım ilişkisinin nedensellikle bağlantısı üzerine sonraki makalelerle açık hale geldi .

Ayrıca bakınız

• elipsometri
• Ultra kısa darbe

Referanslar

Dış bağlantılar

• Andrey Chuvilin ve Ute Kaiser tarafından hazırlanan, dispersiyon yüzeylerinin görselleştirilmesine yardımcı olmak için CBED simülasyonları üzerine poster
• Açısal frekans hesaplayıcı