Dirichlet işlevi - Dirichlet function
Gelen matematik , Dirichlet fonksiyonu olan gösterge fonksiyonu 1 S veya kümesinin rasyonel sayı Q , yani 1 S ( x ) 1 = eğer X bir rasyonel sayıdır ve 1 S ( x ) = 0 ise x rasyonel sayı değil (yani bir irrasyonel sayı ).
Adını matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet'ten almıştır . Birçok duruma karşı örnekler sağlayan bir patolojik fonksiyon örneğidir .
topolojik özellikler
- Dirichlet işlevi hiçbir yerde sürekli değildir .
Kanıt —Rasyonel sayılar kümesine ve irrasyonel sayılar kümesine kısıtlamaları sabittir ve bu nedenle süreklidir. Dirichlet işlevi, Blumberg teoreminin arketipsel bir örneğidir .
- Eğer y sonra, rasyonel f ( y ) 1 = . İşlevi sürekli değil göstermek için y , biz bulmalıyız £ değenni öyle ki biz seçim ne kadar küçük olursa olsun δ , puan olacak z dahilinde ö ait y böyle f ( z ) içinde değil £ değerinin ait f ( y ) = 1 . Aslında 1/2 böyle bir ε 'dir . Çünkü irrasyonel sayılar olan yoğun reals ne olursa olsun ö biz hep irrasyonel bulabilirsiniz seçim z dahilinde ö ait y , ve f ( z ) = 0 uzakta 1'den az 1/2 olduğunu.
- Eğer y mantıksız, daha sonra f ( y ) = 0 . Yine, alabilir ε = 1/2 rasyonel sayılar reals yoğun olduğu için, biz seçebilirsiniz, ve bu sefer z için yakın olarak rasyonel bir sayı olması y gerekli olduğu gibi. Yine f ( z ) = 1 , f ( y ) = 0'dan 1 /2'den fazla uzaktadır .
- Dirichlet fonksiyonu, bir sürekli fonksiyonlar dizisinin çift noktasal limiti olarak aşağıdaki gibi oluşturulabilir:
periyodiklik
Herhangi bir x reel sayısı ve herhangi bir pozitif rasyonel sayı T için , 1 Q ( x + T ) = 1 Q ( x ). Dirichlet fonksiyonu bu nedenle, gerçek bir örnektir periyodik fonksiyonu değildir sabit olan dönemlerde grubu, rasyonel sayı grubu, bir, ancak yoğun bir alt kümesi içinde R .
Entegrasyon özellikleri
- Dirichlet fonksiyonu, R'nin herhangi bir segmentinde Riemann ile integrallenemezken , süreksizlik noktalarının kümesi ihmal edilebilir olmadığı için sınırlıdır ( Lebesgue ölçüsü için ).
- Dirichlet işlevi, monoton yakınsama teoreminin Riemann integrali bağlamında doğru olmadığını gösteren bir karşı örnek sağlar .
Kanıt —
0 ile 1 arasındaki rasyonel sayıların bir sıralamasını kullanarak , f n fonksiyonunu (negatif olmayan tüm tamsayılar için n ) bu rasyonel sayılar dizisinin ilk n terimli kümesinin gösterge fonksiyonu olarak tanımlarız. Artan f n fonksiyonları dizisi (negatif olmayan, kaybolan bir integral ile Riemann-integre edilebilir), noktasal olarak Riemann-integrallenebilir olmayan Dirichlet fonksiyonuna yakınsar.
- Dirichlet fonksiyonudur Lebesgue integrallenebilen üzerinde R ve üzerindeki tamamlayıcı R o (Lebesgue ölçümü için) göz ardı edilebilir olan kesirli sayılar kümesinin dışında sıfır olduğundan sıfırdır.