Boyut (vektör uzayı) - Dimension (vector space)

Gelen matematik , boyut a vektör uzayı V olan önem düzeyi a (vektörlerin yani sayısı) olarak bir V baz üzerinde alan . Diğer boyut türlerinden ayırmak için bazen Hamel boyutu ( Georg Hamel'den sonra ) veya cebirsel boyut olarak adlandırılır .

Her vektör uzayı için bir temel vardır ve bir vektör uzayının tüm tabanları eşit önem derecesine sahiptir; sonuç olarak, bir vektör uzayının boyutu benzersiz bir şekilde tanımlanır. V olduğunu söylüyoruz sonlu boyutlu boyutu eğer V olan sonlu ve sonsuz boyutlu onun boyut ise sonsuz .

V vektör uzayının F alanı üzerindeki boyutu, dim F ( V ) veya [V: F] olarak yazılabilir, " V'nin F üzerine boyutu" olarak okunabilir . Tüm F bağlamında anlaşılabilir, (loş V ), genellikle yazılır.

Örnekler

R 3 vektör uzayı ,

bir şekilde , standart olarak , ve bu nedenle loş sahip R ( R ' 3 ) = 3. Daha genel olarak, loş R ( R' n ) = n- da daha genel olarak, ve loş F ( F , n =) n herhangi alanı F .

Karmaşık sayılar hem gerçek ve kompleks vektör uzayı vardır; Dim R ( C ) = 2 ve dim C ( C ) = 1 var. Yani boyut taban alana bağlıdır.

0 boyutlu tek vektör uzayı {0} 'dır, vektör uzayı sadece sıfır elemanından oluşur.

Gerçekler

Eğer W, a, lineer alt uzayı ve V , daha sonra (loş B ) ≤ sönük ( V ).

İki sonlu boyutlu vektör uzayının eşit olduğunu göstermek için, genellikle şu kriter kullanılır: V sonlu boyutlu bir vektör uzayıysa ve W , dim ( W ) = dim ( V ) ile V'nin doğrusal bir alt uzayıysa, W = V .

R ' n, standart bir temele sahip { e 1 , ..., e n }, e i olan I karşılık gelen inci kolon kimlik matris . Bu nedenle, R n , n boyutuna sahiptir .

F üzerinde aynı boyuta sahip herhangi iki vektör uzayı izomorfiktir . Temelleri arasındaki herhangi bir önyargılı harita, benzersiz bir şekilde vektör uzayları arasındaki önyargılı doğrusal bir haritaya genişletilebilir. Eğer B bazı seti, boyut ile bir vektör alanıdır | B | fazla F grubu alır: aşağıdaki gibi yapılabilir F ( B ) bütün fonksiyonların f  : B F , öyle ki f ( b ) = tüm 0 ancak sonlu sayıda b içinde B . Bu fonksiyonlar F'nin elemanları ile eklenebilir ve çarpılabilir ve istenen F -vektör uzayını elde ederiz.

Doğrusal haritalar için sıra-sıfır teoremi , boyutlarla ilgili önemli bir sonuç verir .

Eğer F / K a, cisim genişlemesi ve ardından F üzerinde belirli bir vektör uzayında K . Ayrıca, her F vektör alanı V aynı zamanda bir K vektör alanıdır. Boyutlar formülle ilişkilidir

dim K ( V ) = dim K ( F ) dim F ( V ).

Özellikle, n boyutunun her karmaşık vektör uzayı, 2 n boyutunun gerçek bir vektör uzayıdır .

Bazı basit formüller içeren bir vektör alanının boyutunu ilgilidir kardinalitesi taban alanının ve uzayın kardinalitesi. Eğer V , bir F alanı üzerinde bir vektör uzayı ise, V'nin boyutunu dim V ile ifade edersek, elimizde:

Dim V sonlu ise, o zaman | V | = | F | loş V .
Dim V sonsuz ise, o zaman | V | = max (| F |, dim V ).

Genellemeler

Bir vektör uzayını belirli bir matroid durumu olarak görebilir ve ikincisinde iyi tanımlanmış bir boyut kavramı vardır. Bir modülün uzunluğu ve bir değişmeli grubunun sıralaması hem vektör boşlukların boyutunun benzer özelliklere sahiptirler.

Krull boyutu değişmeli bir halka adını, Wolfgang Krull (1899-1971), artan bir zincirde katı katılımların maksimum sayısı olarak tanımlanmaktadır asal idealin halkada.

İz

Bir vektör alan boyutu alternatif olarak karakterize edilebilir iz bir kimlik belgesi . Örneğin, bu döngüsel bir tanım gibi görünse de faydalı genellemelere izin verir.

Birincisi, kişinin izine sahipken, ancak doğal bir temel duygusu yoksa, bir boyut kavramını tanımlamasına izin verir. Örneğin, haritalı bir cebir A ( birim olarak adlandırılan skalerlerin dahil edilmesi ) ve bir harita ( counit olarak adlandırılan ize karşılık gelen ) olabilir. Kompozisyon skalerdir (1 boyutlu uzayda doğrusal bir operatördür) "özdeşliğin izine" karşılık gelir ve soyut bir cebir için bir boyut kavramı verir. Pratikte, iki dilbilgilerinde bu haritanın özdeşlik olması gerekir; bu, counit'i boyuta ( ) bölerek normalleştirerek elde edilebilir , bu nedenle bu durumlarda normalleştirme sabiti boyuta karşılık gelir.

Alternatif olarak, sonsuz boyutlu bir uzayda operatörlerin izini sürmek mümkün olabilir; bu durumda, (sonlu) boyut olmamasına rağmen bir (sonlu) iz tanımlanır ve "işlecin boyutu" kavramını verir. Bunlar , bir Hilbert uzayında " iz sınıfı operatörleri" veya daha genel olarak bir Banach uzayında nükleer operatörler başlığı altında yer alır .

Daha ince bir genelleme, bir operatörler ailesinin izini bir tür "çarpık" boyut olarak ele almaktır. Bu, temsilin karakterinin temsilin izi olduğu temsil teorisinde önemli ölçüde ortaya çıkar , bu nedenle bir temsilin gruptaki kimliği göndermesi gibi , kimlik üzerindeki değeri temsilin boyutu olan bir grup üzerindeki skaler değerli bir işlev. kimlik matrisine: Karakterin diğer değerlerini "bükülmüş" boyutlar olarak görebilir ve boyutlarla ilgili ifadelerin analogları veya genellemeleri, karakterler veya temsillerle ilgili ifadeler bulabilir. Bu sofistike bir örnek teorik olarak meydana korkunç kaçak içki : j -invariant olan kademeli boyutu sonsuz boyutlu kademeli temsil canavar grubu , ve karakteri ile boyut değiştirilerek verir McKay-Thompson dizisi her bir öğesi için Canavar grubu.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Kaynaklar

Dış bağlantılar