Dickson polinomu - Dickson polynomial

Gelen matematik , Dickson polinomları , gösterilen D _{, n} ( x , α ) , bir formu polinom sekansı tarafından ortaya LE Dickson  ( 1897 ). Brewer (1961) tarafından Brewer toplamları çalışmasında yeniden keşfedildiler ve nadiren de olsa Brewer polinomları olarak anıldılar .

Karmaşık sayılar üzerinde, Dickson polinomları, bir değişken değişikliği ile esas olarak Chebyshev polinomlarına eşdeğerdir ve aslında, Dickson polinomları bazen Chebyshev polinomları olarak adlandırılır.

Dickson polinomları genellikle sonlu alanlar üzerinde incelenir ve bazen Chebyshev polinomlarına eşdeğer olmayabilirler. Bunlara ilgi duyulmasının ana nedenlerinden biri, sabit α için birçok permütasyon polinomu örneği vermeleridir ; sonlu alanların permütasyonları gibi davranan polinomlar .

Tanım

Birinci tür

Tamsayı için n > 0 ve a bir de değişmeli halka R kimliği ile (genellikle sonlu alan olacak şekilde seçilir F _q = GF ( q ) ) Dickson polinomları üzerinde (ilk türde) R tarafından verilen

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n}{ ni}}{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

İlk birkaç Dickson polinomu

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{1}(x,\alpha )&=x\\D_{2}(x,\alpha )&=x^{2}-2\alpha \\D_{3 }(x,\alpha )&=x^{3}-3x\alpha \\D_{4}(x,\alpha )&=x^{4}-4x^{2}\alpha +2\alpha ^ {2}\\D_{5}(x,\alpha )&=x^{5}-5x^{3}\alpha +5x\alpha ^{2}\,.\end{hizalı}}}$

n ≥ 2 için yineleme bağıntısıyla da üretilebilirler ,

${\displaystyle D_{n}(x,\alpha )=xD_{n-1}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

başlangıç ​​koşulları ile D ₀ ( x , α ) = 2 ve D ₁ ( x , α ) = x .

İkinci tür

İkinci tür E _n ( x , α ) Dickson polinomları şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {ni}{ i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}.}$

Çok fazla çalışılmamıştır ve birinci tür Dickson polinomlarına benzer özelliklere sahiptirler. İkinci türden ilk birkaç Dickson polinomu

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x,\alpha )&=1\\E_{1}(x,\alpha )&=x\\E_{2}(x,\alpha )& =x^{2}-\alpha \\E_{3}(x,\alpha )&=x^{3}-2x\alpha \\E_{4}(x,\alpha )&=x^{4 }-3x^{2}\alpha +\alpha ^{2}\,.\end{hizalı}}}$

n ≥ 2 için yineleme bağıntısıyla da üretilebilirler ,

${\displaystyle E_{n}(x,\alpha )=xE_{n-1}(x,\alpha )-\alpha E_{n-2}(x,\alpha )\,,}$

başlangıç ​​koşulları ile E ₀ ( x , α ) = 1 ve E ₁ ( x , α ) = x .

Özellikleri

D _{, n} , fonksiyonel olarak aşağıdaki denkleme uygun benzersiz mghorta polinomlar olan

${\displaystyle D_{n}\left(u+{\frac {\alpha }{u}},\alpha \right)=u^{n}+\left({\frac {\alpha }{u}}}\ sağ)^{n},}$

burada α ∈ F _q ve u ≠ 0 ∈ F _{q ²} .

Ayrıca bir kompozisyon kuralını da karşılarlar,

${\displaystyle D_{mn}(x,\alpha )=D_{m}{\bigl (}D_{n}(x,\alpha ),\alpha ^{n}{\bigr )}\,=D_{ n}{\bigl (}D_{m}(x,\alpha ),\alpha ^{m}{\bigr )}\,.}$

E _n, ayrıca işlevsel denklemi tatmin

${\displaystyle E_{n}\left(y+{\frac {\alpha }{y}},\alpha \right)={\frac {y^{n+1}-\left({\frac {\alpha) }{y}}\sağ)^{n+1}}{y-{\frac {\alpha }{y}}}}\,,}$

için y ≠ 0 , y ² ≠ a ile a ∈ F _q ve y ∈ F _{q ²} .

Dickson polinomu y = D _n , adi diferansiyel denklemin bir çözümüdür

${\displaystyle \left(x^{2}-4\alpha \right)y''+xy'-n^{2}y=0\,,}$

ve Dickson polinomu y = E _n , diferansiyel denklemin bir çözümüdür

${\displaystyle \sol(x^{2}-4\alpha \sağ)y''+3xy'-n(n+2)y=0\,.}$

Bunların normal üretim fonksiyonları vardır

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\sum _{n}D_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {2-xz}{1-xz+\alpha z^{2 }}}\\\sum _{n}E_{n}(x,\alpha )z^{n}&={\frac {1}{1-xz+\alpha z^{2}}}\,. \end{hizalanmış}}}$

Diğer polinomlara bağlantılar

Yukarıdaki yineleme bağıntısına göre, Dickson polinomları Lucas dizileridir . Spesifik olarak, α = -1 için , birinci türün Dickson polinomları Fibonacci polinomlarıdır ve ikinci türün Dickson polinomları Lucas polinomlarıdır .

Yukarıdaki bileşim kuralına göre, α idempotent olduğunda , birinci tür Dickson polinomlarının bileşimi değişmelidir.

• α = 0 parametreli Dickson polinomları tek terimlileri verir .

${\displaystyle D_{n}(x,0)=x^{n}\,.}$

• α = 1 parametreli Dickson polinomları , birinci tür Chebyshev polinomları T _n ( x ) = cos ( n arccos x ) ile ilişkilidir.

${\displaystyle D_{n}(2x,1)=2T_{n}(x)\,.}$

• Dickson polinom yana D _{, n} ( x , α ) ilave İdempotentler halkalardan üzerinde tanımlanabilir, D _{, n} ( x , α ) genellikle Chebyshev polinomu ile ilgili değildir.

Permütasyon polinomları ve Dickson polinomları

Bir permütasyon polinomu (belirli bir sonlu alan için), sonlu alanın elemanlarının bir permütasyonu gibi davranan polinomdur .

Dickson polinomu D _n ( x , α) ( a sabitli x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilir ), q elemanlı alan için bir permütasyon polinomudur, ancak ve ancak n q ² − 1'e asal ise .

Fried (1970) , sonsuz sayıda asal alan için bir permütasyon polinomu olan herhangi bir integral polinomunun, Dickson polinomlarının ve lineer polinomların (rasyonel katsayılarla) bir bileşimi olduğunu kanıtladı. Bu iddia, Schur'un varsayımı olarak bilinir hale geldi, ancak aslında Schur bu varsayımı yapmadı. Fried'in makalesi çok sayıda hata içerdiğinden, Turnwald (1995) tarafından düzeltilmiş bir açıklama yapıldı ve ardından Müller (1997) , Schur'dan kaynaklanan bir argümanın çizgileri boyunca daha basit bir kanıt verdi.

Bundan başka, Müller (1997) , sonlu alan üzerindeki her bir permütasyon polinom kanıtlamıştır F _q derecesi göreceli asal eşzamanlı olarak q ve en az q ^1/4 Dickson polinomlarının ve lineer polinomların bir bileşimi olmalıdır.

genelleme

Sonlu alanlar üzerindeki her iki türden Dickson polinomları, ( k + 1) inci türden Dickson polinomları olarak adlandırılan bir genelleştirilmiş Dickson polinomları dizisinin ilk üyeleri olarak düşünülebilir . Spesifik olarak, için a ≠ 0 ∈ F _q ile q = p ^e bazı ana için p ve herhangi bir tam sayı , n ≥ 0 ve 0 ≤ k < p , n, inci Dickson polinom ( k + 1) inci tür fazla F _q , gösterilen tarafından D _{, n , k,} ( x , α ) , ile tanımlanır

${\displaystyle D_{0,k}(x,\alpha )=2-k}$

ve

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\frac {n -ki}{ni}}{\binom {ni}{i}}(-\alpha )^{i}x^{n-2i}\,.}$

D _{n ,0} ( x , α ) = D _n ( x , α ) ve D _{n ,1} ( x , α ) = E _n ( x , α ) , bu tanımın Dickson'ın orijinal polinomlarını birleştirdiğini ve genelleştirdiğini gösterir.

Dickson polinomlarının önemli özellikleri de genelleştirilir:

• Tekrarlama bağıntısı : n ≥ 2 için ,

${\displaystyle D_{n,k}(x,\alpha )=xD_{n-1,k}(x,\alpha )-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha )\,, }$

başlangıç ​​koşulları ile D _{0, k} ( x , α ) = 2 − k ve D _{1, k} ( x , α ) = x .

• Fonksiyonel denklem :

${\displaystyle D_{n,k}\left(y+\alpha y^{-1},\alpha \right)={\frac {y^{2n}+k\alpha y^{2n-2}+\ cdots +k\alpha ^{n-1}y^{2}+\alpha ^{n}}{y^{n}}}={\frac {y^{2n}+{\alpha }^{n }}{y^{n}}}+\sol({\frac {k\alpha }{y^{n}}}\sağ){\frac {y^{2n}-{\alpha }^{n -1}y^{2}}{y^{2}-\alpha }}\,,}$

nerede y ≠ 0 , y ² ≠ α .

• Oluşturma işlevi :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }D_{n,k}(x,\alpha )z^{n}={\frac {2-k+(k-1)xz}{1 -xz+\alpha z^{2}}}\,.}$

Notlar

Referanslar

• Brewer, BW (1961), "Belirli karakter toplamlarında", İşlemler of the American Mathematical Society , 99 (2): 241–245, doi : 10.2307/1993392 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1993392 , MR  0120202 , Zbl  0103.03205
• Dickson, LE (1897). "Doğrusal grup I, II ile ilgili bir tartışma ile asal sayıda harfin gücü üzerinde ikamelerin analitik temsili". Anne. Math . Matematik Yıllıkları. 11 (1/6): 65–120, 161–183. doi : 10.2307/1967217 . ISSN  0003-486X . JFM  28.0135.03 . JSTOR  1967217 .
• Kızarmış, Michael (1970). "Shur'un bir varsayımı üzerine" . Michigan Matematik. J . 17 : 41-55. doi : 10.1307/mmj/102900374 . ISSN  0026-2285 . MR  0257033 . Zbl  0169.37702 .
• Lidl, R.; Mullen, GL; Turnwald, G. (1993). Dickson polinomları . Pitman Monografları ve Saf ve Uygulamalı Matematikte Anketler. 65 . Longman Bilimsel ve Teknik, Harlow; Amerika Birleşik Devletleri'nde John Wiley & Sons, Inc., New York ile birlikte yayınlandı. ISBN'si 978-0-582-09119-1. MR  1.237.403 . Zbl  0823.11070 .
• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1983). Sonlu alanlar . Matematik Ansiklopedisi ve Uygulamaları. 20 (1. baskı). Addison-Wesley. ISBN'si 978-0-201-13519-0. Zbl  0866.11069 .
• Mullen, Gary L. (2001) [1994], "Dickson polinomları" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Sonlu Alanların El Kitabı , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Müller, Peter (1997). "Shur'un varsayımının Weil'e bağlı ücretsiz kanıtı" . Sonlu Alanlar ve Uygulamaları . 3 : 25–32. doi : 10.1006/ffta.1996.0170 . Zbl  0904.11040 .
• Rassias, Thermistocles M.; Srivastava, HM; Yanushauskas, A. (1991). Bir ve Birkaç Değişkenin Polinomlarındaki Konular ve Uygulamaları: PLChebyshev'in Mirası . Dünya Bilimsel. s. 371–395. ISBN'si 978-981-02-0614-7.
• Turnwald, Gerhard (1995). "Shur'un varsayımına göre" . J. Avustralya. Matematik. Soc. Sör. Bir . 58 (3): 312-357. doi : 10.1017/S1446788700038349 . MR  1329867 . Zbl  0834.11052 .
• Genç, Paul Thomas (2002). "Değiştirilmiş Dickson polinomları hakkında" (PDF) . Fibonacci Üç Aylık . 40 (1): 33–40.