Sürekli haritalama derecesi - Degree of a continuous mapping

Kendi üzerine bir kürenin ikinci derece haritası .

Olarak topoloji , derece a sürekli eşleme arasında iki kompakt yönelimli manifold aynı boyut sayısını temsil eden bir sayı olduğu alan çevresinde manifoldu sarar aralığı dönüşüm altında manifoldu. Derece her zaman bir tamsayıdır , ancak yönelimlere bağlı olarak pozitif veya negatif olabilir.

Haritanın derecesi, ilk olarak tanımlandı Brouwer derecesi olduğunu göstermiştir, eşyerellik değişmez ( değişmez homotopies arasında) ve kanıtlamak için kullanılır Brouwer sabit nokta teoremi . Modern matematikte, bir haritanın derecesi topoloji ve geometride önemli bir rol oynar . Olarak fizik , (örneğin bazı düzen parametresi kümesi alan bir harita) sürekli bir harita derecesinin bir örneğidir topolojik kuantum sayısı .

Derecenin tanımları

Gönderen S ⁿ için S ⁿ

En basit ve en önemli olgu bir derecesidir sürekli haritası gelen -sphere kendisine (durumunda , bu denir sarma sayısı ): ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili S^{n}}$${\görüntüleme stili n=1}$

Let sürekli haritası olması. Sonra bir homomorfizması neden , olan inci homoloji grubu . Olduğu gerçeğini göz önünde bulundurarak, bunun bazı sabit formda olması gerektiğini görüyoruz . Bu daha sonra derecesi olarak adlandırılır . ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle f_{*}\iki nokta üst üste H_{n}\sol(S^{n}\sağ)\to H_{n}\sol(S^{n}\sağ)}$${\displaystyle H_{n}\sol(\cdot\sağ)}$${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle H_{n}\sol(S^{n}\sağ)\cong \mathbb {Z} }$${\ Displaystyle f_{*}}$${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto\alpha x}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili f}$

manifoldlar arasında

cebirsel topoloji

Let X ve Y, kapalı bağlı yönlendirilmiş m boyutlu manifoldlar . Bir manifoldun yönlendirilebilirliği, üst homoloji grubunun Z ile izomorfik olduğunu ima eder . Bir oryantasyon seçmek, en üst homoloji grubunun bir üretecini seçmek anlamına gelir.

Sürekli bir harita f  : X → Y , H _m ( X ) 'den H _m ( Y ) 'ye bir f _* homomorfizmasını indükler . [ X ] olsun . [ Y ] H _m ( X ) için seçilen üreteç olsun, yani . H _m ( Y ) (ya da temel sınıf arasında X , Y ). Daha sonra derece arasında f olarak tanımlanır f _* ([ X ]). Diğer bir deyişle,

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

Eğer y de Y ve f ^-1 ( y ) bir sonlu dizi, derecesi f dikkate alınarak elde edilebilir m -inci lokal homoloji grupları arasında X her noktasında f ^-1 ( y ).

diferansiyel topoloji

Diferansiyel topoloji dilinde, düzgün bir haritanın derecesi aşağıdaki gibi tanımlanabilir: f alanı bir kompakt manifold olan ve p , f'nin düzenli bir değeri olan düzgün bir haritaysa , sonlu kümeyi düşünün.

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}$

Tarafından p , her bir mahalle, normal değerini x _i harita f yerel olan Diffeomorfizm (bir olan kaplama harita ). Difeomorfizmler, oryantasyonu koruyan veya oryantasyonu tersine çeviren olabilir. Let r nokta sayısının x _i hangi f yönelimi korunarak ve s hangi sayı f yönlendirme ters çevirmek. Bir değer kümesi zaman f bağlanır, sayı r  -  s seçimi bağımsız p (olsa n ! Değildir) ve bir tanımlar derecesi arasında f olmak r  -  s . Bu tanım, yukarıdaki cebirsel topolojik tanımla örtüşmektedir.

Aynı tanım, sınırı olan kompakt manifoldlar için de geçerlidir, ancak o zaman f , X'in sınırını Y'nin sınırına göndermelidir .

Bir de tanımlayabilir derece modülo 2 (C ₂ ( f ama önce alarak)) aynı şekilde temel sınıf içinde , Z ₂ homoloji. ° Bu durumda, ₂ ( f ) bir elemanıdır Z ₂ ( iki eleman ile alan ), manifoldlar yönlendirilebilir olması gerekmez ve, eğer , n ve preimages sayısıdır p sonra önce olduğu gibi ° ₂ ( f ) olduğu , n modülo 2 .

Diferansiyel formların entegrasyonu, (C ^∞ -) tekil homoloji ile de Rham kohomolojisi arasında bir eşleşme sağlar : burada bir döngü ile temsil edilen bir homoloji sınıfı ve bir de Rham kohomoloji sınıfını temsil eden kapalı bir formdur. Düz bir harita için f  : X → Y yönlendirilebilir m -manifoldları arasında${\displaystyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili c}$${\ Displaystyle \ omega }$

${\displaystyle \langle f_{*}[c],[\omega ]\rangle =\langle [c],f^{*}[\omega ]\rangle ,}$

burada f _* ve f *, sırasıyla zincirler ve formlar üzerinde indüklenmiş haritalardır. Yana f _* [ X ] = C f · [ Y ] Elimizdeki

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

Y üzerinde herhangi bir m -formu ω için .

Kapalı bölgeden haritalar

Eğer bir sınırlı olan bölge , pürüzsüzleştirmek, bir normal değer arasında ve daha sonra derecesi, aşağıdaki formül ile tanımlanmaktadır ${\displaystyle \Omega \altküme \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle p\notin f(\partial\Omega )}$${\ Displaystyle \ derece(f,\Omega ,p)}$

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatöradı {sgn} \det(1-Df(y))}$

burada bir Jacobi matris içinde de . Derecenin bu tanımı , bir noktanın yakın olduğu yerde , normal olmayan değerler için doğal olarak genişletilebilir . ${\görüntüleme stili Df(y)}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(f,\Omega ,p')}$${\görüntüleme stili p'}$${\görüntüleme stili p}$

Derecesi aşağıdaki özellikleri karşılar:

• Eğer öyleyse öyle bir şey var ki .${\displaystyle \deg(f,{\bar {\Omega }},p)\neq 0}$${\ Displaystyle x\Omega }$${\görüntüleme stili f(x)=p}$
• ${\displaystyle \deg(\operatöradı {id} ,\Omega ,y)=1}$hepsi için .${\ Displaystyle y\Omega }$
• Ayrışma özelliği:

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y)}$, eğer ayrık parçalar ise ve .${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$${\displaystyle y\not \in f({\overline {\Omega }}\setminus (\Omega _{1}\cup \Omega _{2}))}$

• Homotopi değişmezliği : Eğer ve böyle bir homotopi yoluyla homotopi eşdeğer ise ve , o zaman${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili F(t)}$${\ Displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$${\displaystyle p\notin F(t)(\partial\Omega )}$${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}$
• Fonksiyon yerel olarak sabittir${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}$

Bu özellikler dereceyi benzersiz bir şekilde karakterize eder ve derece onlar tarafından aksiyomatik bir şekilde tanımlanabilir.

Benzer bir şekilde, kompakt yönelimli manifoldlar arasındaki bir haritanın derecesini sınır ile tanımlayabiliriz .

Özellikleri

Bir haritanın derecesi bir homotopi değişmezidir; üstelik küreden kendisine sürekli haritalar için tam bir homotopi değişmezidir, yani iki harita ancak ve ancak . ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$${\görüntüleme stili \derece(f)=\derece(g)}$

Başka bir deyişle, derece ve arasındaki bir eşbiçimliliktir . ${\displaystyle [S^{n},S^{n}]=\pi _{n}S^{n}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Ayrıca, Hopf teoremi , herhangi bir boyutlu kapalı yönelimli manifold M için , iki haritanın ancak ve ancak şu durumlarda homotopik olduğunu belirtir.${\görüntüleme stili n}$ ${\displaystyle f,g:M\to S^{n}}$${\görüntüleme stili \derece(f)=\derece(g).}$

Kendinden haritası ait n bir haritaya uzatılabilir -sphere olduğu gelen n için -ball n ancak ve ancak -sphere . (Burada F işlevi f'yi , f'nin F ile sınırlandırılması anlamında genişletir .) ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$${\displaystyle F:B_{n}\to S^{n}}$${\görüntüleme stili \deg(f)=0}$${\görüntüleme stili S^{n}}$

Derecenin hesaplanması

Topolojik derece C (hesaplanması için bir algoritma vardır f , B , sürekli bir fonksiyonu, 0) f , bir gelen n- boyutlu kutusu B (bir ürünü , n aralıklarla) için , burada f aritmetik ifadeler şeklinde verilir. Dereceyi hesaplamak için bir yazılım aracı olan TopDeg'de algoritmanın bir uygulaması mevcuttur (LGPL-3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Ayrıca bakınız

• Kaplama numarası , benzer şekilde adlandırılmış bir terim. Sarım sayısını genelleştirmediğini, ancak toplarla bir setin kapaklarını açıkladığını unutmayın.
• Yoğunluk (politop) , çokyüzlü bir analog
• topolojik derece teorisi

Notlar

Referanslar

• Flanders, H. (1989). Fiziksel bilimlere uygulamaları olan diferansiyel formlar . Dover.
• Hirsch, M. (1976). Diferansiyel topoloji . Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-90148-5.
• Milnor, JW (1997). Türevlenebilir Bakış Açısından Topoloji . Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 978-0-691-04833-8.
• Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Haritalama Derecesi Teorisi . Amerikan Matematik Derneği. ISBN'si 978-0-8218-4915-6.

Dış bağlantılar

• "Brouwer derecesi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Rade T. Zivaljeviç'in haritalama derecesi ile tanışalım.