Sayısal basamak - Numerical digit

Arap rakamlarının değer sırasına göre on hanesi.
Arap rakamlarının değer sırasına göre on hanesi .

Bir sayısal basamaklı temsil etmek üzere (örneğin, "2" olarak) ya da (örneğin, "25" gibi) kombinasyonları, tek başına kullanılan tek bir semboldür numaraları bir de konum numarası sistemi. "Rakam" adı , ellerin on basamağının ( Latince digiti parmak anlamına gelir) ortak 10 tabanlı sayı sisteminin on sembolüne , yani ondalık (antik Latince sıfat decem on anlamına gelen) basamaklara karşılık gelmesinden gelir.

Tabanı tamsayı olan belirli bir sayı sistemi için gereken farklı basamak sayısı , tabanın mutlak değeriyle verilir . Örneğin, ondalık sistem (taban 10) on basamak (0'dan 9'a kadar ) gerektirirken , ikili sistem (taban 2) iki basamak (0 ve 1) gerektirir.

genel bakış

Temel bir dijital sistemde, bir sayı , isteğe bağlı uzunlukta olabilen bir basamak dizisidir. Dizideki her konumun bir basamak değeri ve her basamağın bir değeri vardır. Sayının değeri, dizideki her basamağı basamak değeriyle çarparak ve sonuçları toplayarak hesaplanır.

Dijital değerler

Sayı sistemindeki her basamak bir tamsayıyı temsil eder. Örneğin, ondalık basamaklı "1" tamsayı temsil birini ve de onaltılık sistemde, "A" harfi sayı temsil on . Bir konumsal sayı sistemi , sıfırdan sayı sisteminin tabanına kadar her tam sayı için benzersiz bir basamağa sahiptir , ancak sayı sisteminin tabanını içermez .

Böylece konumsal ondalık sistemde, 0 ila 9 arasındaki sayılar, en sağdaki "birimler" konumunda "0" ila "9" arasındaki ilgili sayıları kullanılarak ifade edilebilir. Birimler konumunda 12 sayısı "2", "2"nin solunda "onlar" konumunda "1", 312 ise üç sayı ile ifade edilebilir: "Yüzler" konumunda "3", "onlar" konumunda "1" ve "birimler" konumunda "2".

Yer değerlerinin hesaplanması

Ondalık sayı sistemi kullanan ondalık ayırıcı , yaygın bir dönem İngilizce ya da bir virgül diğerinde Avrupa bir yer değeri birdir "olanlar yer" veya "birimleri yer", göstermek için, diller. Bunun solundaki ardışık her yer, bir önceki basamağın basamak değeri çarpı taban değerine eşit bir basamak değerine sahiptir . Benzer şekilde, ayırıcının sağındaki ardışık her bir basamak, bir önceki basamağın tabana bölünmesiyle elde edilen basamak değerine eşit bir basamak değerine sahiptir. Örneğin, 10.34 rakamında ( 10 tabanında yazılmıştır ),

0 hangisinin ya da birimler yerine ve denir böylece ayırıcının hemen solundaki bir tane basamak veya birler basamağı ;
1 olanlar yerin solunda onlarca yerinde olduğundan ve denir Onlar basamağı ;
3 o onda yerinde olduğundan ve denir böylece, olanlar yerin sağında onda haneli ;
4 onluk basamağa sağındaki salise yerinde olduğundan ve denir salise haneli .

Sayının toplam değeri 1 onluk, 0 birlik, 3 ondalık ve 4 yüzdeliktir. Sayıya hiçbir değer katmayan sıfırın, 1'in birler basamağından ziyade onlar basamağında olduğunu gösterdiğine dikkat edin.

Bir sayıdaki herhangi bir basamağın basamak değeri, kendi içinde sayı sistemlerinin ardındaki mantığın bir tamamlayıcısı olan basit bir hesaplama ile verilebilir. Hesaplama, verilen basamağın, n - 1 üssü tarafından yükseltilen tabanla çarpılmasını içerir , burada n , basamağın ayırıcıdan konumunu temsil eder; değeri n pozitif (+), ancak bu rakam ayırıcının sola olduğu takdirde ise. Ve sağda, rakam, negatif (-) n ile yükseltilmiş tabanla çarpılır . Örneğin, 10.34 sayısında (10 tabanında yazılmıştır),

1 ayırıcının soldan ikinci, yani hesaplamaya göre, değeri olduğu
4 , bu değeri olan hesaplamaya göre, ayırıcının sağ ikinci

Tarih

Hindu-Arap rakam sisteminin rakamlarını temsil etmek için kullanılan glifler.

İlk gerçek yazılı konumsal sayı sistemi , Hindu-Arap sayı sistemi olarak kabul edilir . Bu sistem Hindistan'da 7. yüzyılda kuruldu, ancak henüz modern biçiminde değildi çünkü sıfır rakamının kullanımı henüz geniş çapta kabul görmemişti. Bazen, sıfır yerine rakamlar, önemlerini belirtmek için noktalarla işaretlendi veya yer tutucu olarak bir boşluk kullanıldı. Sıfırın yaygın olarak kabul edilen ilk kullanımı 876'daydı. Orijinal sayılar modern sayılara çok benziyordu, hatta rakamları temsil etmek için kullanılan gliflere kadar.

Maya sayı sisteminin rakamları

13. yüzyılda, Batı Arap rakamları Avrupa matematik çevrelerinde kabul edildi ( Fibonacci onları Liber Abaci'sinde kullandı ). 15. yüzyılda ortak kullanıma girmeye başladılar. 20. yüzyılın sonunda, dünyadaki neredeyse tüm bilgisayarsız hesaplamalar, çoğu kültürde yerel sayı sistemlerinin yerini alan Arap rakamlarıyla yapıldı.

Rakamları kullanan diğer tarihsel sayı sistemleri

Maya rakamlarının kesin yaşı belirsizdir, ancak Hindu-Arap sisteminden daha eski olması mümkündür. Sistem vigesimal (taban 20) idi, bu yüzden yirmi hanesi var. Mayalar sıfırı temsil etmek için bir kabuk sembolü kullandılar. Rakamlar dikey olarak, birler altta olacak şekilde yazılmıştır. Mayalar , modern hiçbir eşdeğer vardı ondalık ayırıcı kendi sistem kesirleri temsil edemeyeceğini bu nedenle,.

Tai numarası sistemi ile aynıdır Hint-Arap rakam sistemi basamak temsil etmek için kullanılan sembollerin haricinde. Bu rakamların kullanımı Tayland'da bir zamanlar olduğundan daha az yaygındır , ancak hala Arap rakamlarıyla birlikte kullanılmaktadır.

Bir zamanlar Çinli ve Japon matematikçiler tarafından kullanılan çubukların yazılı biçimleri olan çubuk sayıları, yalnızca sıfırı değil, aynı zamanda negatif sayıları da temsil edebilen ondalık bir konumsal sistemdir. Sayma çubuklarının kendileri Hindu-Arap sayı sisteminden önce gelir. Suzhou rakamları çubuk rakamlar türevleridir.

Çubuk rakamları (dikey)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sayma çubuğu 0.png Sayma çubuğu v1.png Sayma çubuğu v2.png Sayma çubuğu v3.png Sayma çubuğu v4.png Sayma çubuğu v5.png Sayma çubuğu v6.png Sayma çubuğu v7.png Sayma çubuğu v8.png Sayma çubuğu v9.png
–0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9
Sayma çubuğu -0.png Sayma çubuğu v-1.png Sayma çubuğu v-2.png Sayma çubuğu v-3.png Sayma çubuğu v-4.png Sayma çubuğu v-5.png Sayma çubuğu v-6.png Sayma çubuğu v-7.png Sayma çubuğu v-8.png Sayma çubuğu v-9.png

Modern dijital sistemler

bilgisayar biliminde

İkili (baz 2), sekizlik (baz 8) ve onaltılık yoğun kullanılan (16 tabanı) sistemleri, bilgisayar bilimleri , tüm kuralları takip Hindu-Arap rakam sistemi . İkili sistem sadece "0" ve "1" rakamlarını kullanırken, sekizli sistem "0" ile "7" arasındaki rakamları kullanır. Onaltılık sistem, ondalık sistemdeki tüm rakamları ve sırasıyla 10 ila 15 arasındaki sayıları temsil eden "A" ile "F" arasındaki harfleri kullanır.

Olağandışı sistemler

Üçlü ve dengeli üçlü sistemler bazen kullanılmaktadır. Her ikisi de temel 3 sistemlerdir.

Dengeli üçlü, 1, 0 ve –1 basamak değerlerine sahip olması olağandışıdır. Dengeli üçlü bazı yararlı özelliklere sahip olduğu ortaya çıktı ve sistem deneysel Rus Setun bilgisayarlarında kullanıldı.

Son 300 yılda birçok yazar, değiştirilmiş bir ondalık gösterime denk gelen bir konumsal gösterim olanağına dikkat çekmiştir . Negatif değerleri temsil eden sayısal rakamların kullanımı için bazı avantajlar belirtilmiştir. 1840'ta Augustin-Louis Cauchy , sayıların işaretli basamaklı temsilinin kullanılmasını savundu ve 1928'de Florian Cajori , negatif sayılar için referanslar koleksiyonunu sundu . Bilgisayar tasarımında imzalı-rakamlı temsil kavramı da ele alınmıştır .

Matematikte rakamlar

Rakamların sayıları tanımlamadaki temel rolüne rağmen, modern matematik için nispeten önemsizdirler . Yine de, bir sayının bir basamak dizisi olarak gösterimini kullanan birkaç önemli matematiksel kavram vardır.

Dijital kökler

Sayısal kök, belirli bir sayının basamaklarını toplayarak, ardından sonucun basamaklarını toplayarak ve tek basamaklı bir sayı elde edilene kadar böyle devam ederek elde edilen tek basamaklı sayıdır.

Dokuzlar dışarı döküm

Dokuzları atmak , elle yapılan aritmetiği kontrol etmek için bir prosedürdür. Bunu açıklamak için, izin temsil dijital kökünü ait yukarıda açıklandığı gibi,. Dokuzlar atmak, if , o zaman olduğu gerçeğini kullanır . Dokuzları çıkarma sürecinde, ikinci denklemin her iki tarafı da hesaplanır ve bunlar eşit değilse, orijinal ekleme hatalı olmalıdır.

Tekrarlar ve tekrarlar

Repunits, yalnızca 1 rakamı ile temsil edilen tam sayılardır. Örneğin, 1111 (bin, yüz on bir) bir reunittir. Repdigit'ler , repunit'lerin bir genellemesidir; aynı rakamın tekrarlanan örnekleriyle temsil edilen tam sayılardır. Örneğin, 333 bir tekrar rakamıdır. Asallık repunits ait matematikçiler ilgilendiren olduğunu.

Palindromik sayılar ve Lychrel sayıları

Palindromik sayılar, rakamları ters çevrildiğinde aynı okunan sayılardır. Bir Lychrel sayısı , basamakları tersine çevrilerek kendisine tekrarlanan eklenme sürecine tabi tutulduğunda hiçbir zaman palindromik bir sayı vermeyen pozitif bir tamsayıdır. 10 tabanında herhangi bir Lychrel sayısının olup olmadığı sorusu, eğlence matematiğinde açık bir problemdir ; en küçük aday 196 .

Eski sayıların tarihi

Sayma yardımcıları, özellikle vücut parçalarının kullanımı (parmaklarla sayma) kesinlikle günümüzde olduğu gibi tarih öncesi çağlarda da kullanılmıştır. Birçok varyasyon var. On parmak saymanın yanı sıra, bazı kültürler parmak eklemlerini, parmaklar ve ayak parmakları arasındaki boşluğu ve parmakları saymıştır. Oksapmin Yeni Gine kültür sayıları temsil etmek için 27 üst vücut yerleri bir sistem kullanır.

Sayısal bilgileri korumak için, tarih öncesi çağlardan beri tahtaya, kemiğe ve taşa oyulmuş sayılar kullanılmıştır. Eski yerli Amerikan grupları da dahil olmak üzere Taş Devri kültürleri kumar, kişisel hizmetler ve ticari mallar için çeteleleri kullandı.

Sümerler tarafından MÖ 8000 ve 3500 yılları arasında kildeki sayısal bilgileri koruma yöntemi icat edildi . Bu, bir ipe boncuk gibi dizilmiş çeşitli şekillerdeki küçük kil jetonlarla yapıldı. MÖ 3500'den başlayarak, kil tabletlerde (başlangıçta jeton kapları) farklı açılarda yuvarlak bir kalemle basılmış sayı işaretleri kademeli olarak değiştirildi ve daha sonra fırınlandı. MÖ 3100 civarında, yazılı sayılar sayılan şeylerden ayrıldı ve soyut sayılar haline geldi.

MÖ 2700 ve 2000 yılları arasında Sümer'de yuvarlak kalem, yavaş yavaş kilde kama şeklindeki çivi yazılı işaretleri basmak için kullanılan kamış kalemle değiştirildi. Bu çivi yazılı sayı işaretleri, değiştirdikleri yuvarlak sayı işaretlerine benziyordu ve yuvarlak sayı işaretlerinin toplam işaret-değer gösterimini korudu . Bu sistemler yavaş yavaş ortak bir altmışlık sayı sisteminde birleşti; bu, yalnızca iki damgalı işaretten, dikey kama ve şeritten oluşan ve aynı zamanda kesirleri de temsil edebilen bir yer-değer sistemiydi. Bu altmışlık sayı sistemi, Eski Babil döneminin başında (yaklaşık MÖ 1950) tamamen geliştirildi ve Babil'de standart hale geldi.

Altmışlı sayılar , çivi yazılı dikey kamalar ve köşeli çift ayraçlardan oluşan bir dizide değişen taban 10 ve taban 6'yı tutan karma bir taban sistemiydi. MÖ 1950'de bu bir konumsal gösterim sistemiydi. Altmışlı sayılar ticarette yaygın olarak kullanılmaya başlandı, ancak astronomik ve diğer hesaplamalarda da kullanıldı. Bu sistem Babil'den ihraç edildi ve Mezopotamya'da ve Yunanlılar, Romalılar ve Mısırlılar da dahil olmak üzere standart Babil ölçü ve sayma birimlerini kullanan her Akdeniz ulusu tarafından kullanıldı. Babil tarzı altmışlık numaralandırma, modern toplumlarda zamanı (dakika/saat) ve açıları (derece) ölçmek için hala kullanılmaktadır .

Modern sayıların tarihi

In Çin , ordular ve hükümler modüler tallies kullanılarak sayıldı asal sayılar . Benzersiz sayıda birlik ve pirinç ölçüleri, bu çetelelerin benzersiz kombinasyonları olarak görünür. Modüler aritmetiğin büyük bir rahatlığı, çarpmanın kolay olmasıdır. Bu, hükümler için modüler aritmetik kullanımını özellikle çekici hale getirir. Geleneksel çeteleleri çarpmak ve bölmek oldukça zordur. Modern zamanlarda modüler aritmetik bazen dijital sinyal işlemede kullanılır .

En eski Yunan sistemi Attika rakamlarıydı , ancak MÖ 4. yüzyılda yarı ondalık bir alfabetik sistem kullanmaya başladılar (bkz. Yunan rakamları ). Yahudiler benzer bir sistem ( İbrani rakamları ) kullanmaya başladılar ve bilinen en eski örnekleri MÖ 100 civarında madeni paralar olarak biliniyordu.

Roma imparatorluğu balmumu, papirüs ve taş üzerine yazılmış çeteleleri kullandı ve kabaca Yunanların çeşitli sayılara harf atama geleneğini takip etti. Romen rakamları sistemi kadar Avrupa'da yaygın kullanımda kalmıştır pozisyonel notasyonu 16. yüzyılda yaygın olarak kullanılmaya başlandı.

Maya Orta Amerika muhtemelen miras karışık taban 18 ve taban 20 sistemi, kullanılan Olmek böyle pozisyonel gösterimle ve gibi gelişmiş özellikler de dahil olmak üzere sıfır . Bu sistemi, güneş yılının uzunluğunun ve Venüs'ün yörüngesinin son derece doğru hesaplamaları da dahil olmak üzere gelişmiş astronomik hesaplamalar yapmak için kullandılar .

İnka İmparatorluğu , renkli lifleri düğümleyerek yapılan quipu , çeteleleri kullanarak büyük bir komuta ekonomisi yürütüyordu . Düğümlerin ve renklerin kodlama bilgisi , 16. yüzyılda İspanyol fatihler tarafından bastırıldı ve And bölgesinde hala basit quipu benzeri kayıt cihazları kullanılmasına rağmen günümüze ulaşmadı .

Bazı yetkililer konumsal aritmetiğin Çin'de sayma çubuklarının yaygın kullanımıyla başladığına inanıyor . En eski yazılı konumsal kayıtlar , Çin'de 400 civarında çubuk hesabı sonuçları gibi görünüyor . Sıfır ilk olarak Hindistan'da MS 7. yüzyılda Brahmagupta tarafından kullanıldı .

Modern konumsal Arap rakam sistemi Hindistan'daki matematikçiler tarafından geliştirildi ve 773 civarında bir Hint büyükelçisi tarafından Bağdat'a getirilen astronomik tablolarla birlikte Müslüman matematikçilere geçti .

Gönderen Hindistan , İslam sultanlar ve Afrika arasındaki gelişen ticaret için kavramını taşınan Kahire . Arap matematikçiler sistemi ondalık kesirleri içerecek şekilde genişlettiler ve Muhammed ibn Mūsā al-Ḵwārizmī 9. yüzyılda bu konuda önemli bir eser yazdı. Modern Arap rakamları İspanya ve 12. yüzyılda bu işin çeviri ile Avrupa'ya tanıtıldı Leonardo Pisa 'ın Liber Abacı 1201. yılında Avrupa, sıfır ile tam Hint sistem 12. yüzyılda Araplar türetilmiştir .

İkili sistem (baz 2), tarafından 17. yüzyılda çoğaltıldı Gottfried Leibniz . Leibniz bu kavramı kariyerinin başlarında geliştirmişti ve Çin'den I Ching'in bir kopyasını gözden geçirdiğinde tekrar gözden geçirmişti . İkili sayılar, bilgisayar uygulamaları nedeniyle 20. yüzyılda yaygın olarak kullanılmaya başlandı.

En popüler sistemlerde sayılar

Batı Arapça 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Asomiya (Assam); Bengalce
Devanagari
Doğu Arapça ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩
Farsça ٠ ١ ٢ ٣ ۴ ۵ ۶ ٧ ٨ ٩
Gurmukhi
Urduca ۰ ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹
Çince
(günlük)
Çince
(resmi)
贰/貳 叁/叄 陆/陸
Çince
(Suzhou)
Ge'ez
(Etiyopya)
Gujarati
hiyeroglif Mısır 𓏺 𓏻 𓏼 𓏽 𓏾 𓏿 𓐀 𓐁 𓐂
Japonca /
kannada
Kmer (Kamboçya)
Lao
Limbu
Malayalamca
Moğolca
Burma
Ortaca
Roma ben II III IV V VI VII VIII IX
Shan ဋ္ဌ
Sinhala 𑇡 𑇢 𑇣 𑇤 𑇥 𑇦 𑇧 𑇨 𑇩
Tamilce
Telugu
Tay
Tibetçe
Yeni Tai Lue
Cava

Ek sayılar

1 5 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 500 1000 10000 10 8
Çince
(basit)
二十 三十 四十 五十 六十 七十 八十 九十 五百 亿
Çince
(karmaşık)
贰拾 叁拾 肆拾 伍拾 陆拾 柒拾 捌拾 玖拾 伍佰
Ge'ez
(Etiyopya)
፭፻ ፲፻ ፼፼
Roma ben V x XX XXX XL L LX LXX LXXX XC C NS m x

Ayrıca bakınız

Çeşitli komut dosyalarında sayısal gösterim

Referanslar