Çapraz korelasyon - Cross-correlation

Evrişim , çapraz korelasyon ve otokorelasyonun görsel karşılaştırması . Fonksiyon içeren işlemler için f ve yüksekliğini varsayarak f 1.0, her bir noktanın altında gölgeli alanda ile gösterilir 5 farklı noktalarda sonucu değeridir. Ayrıca, f'nin dikey simetrisinin nedeni budur ve bu örnekte aynıdır.

Gelen sinyal işleme , çapraz-korelasyon a, benzerlik ölçüsü biri diğerine göre yer değiştirmesinin bir fonksiyonu olarak, iki dizi. Bu aynı zamanda kayan nokta çarpımı veya kayan iç çarpım olarak da bilinir . Genellikle daha kısa, bilinen bir özellik için uzun bir sinyal aramak için kullanılır. Bu uygulamalar vardır örüntü tanıma , tek bir parçacık analiz , elektron tomografi , ortalama alma , kriptanaliz ve nörofizyolojinin . Çapraz korelasyon, doğası gereği iki fonksiyonun evrişimine benzer . Bir sinyalin kendisiyle çapraz korelasyonu olan bir otokorelasyonda , her zaman sıfır gecikmede bir tepe noktası olacaktır ve boyutu sinyal enerjisi olacaktır.

Olarak olasılık ve istatistik terimi çapraz korelasyon belirtir korelasyon iki girişleri arasında rasgele vektörler ve süre, korelasyonlar rasgele vektörün bir girişler arasında bir ilişki vardır , kendi oluşturan bu ilişkiyi gösteren bir tablo arasında . Her durumunda ve bir de arka arkaya gerçekleştirilmektedir skalar rastgele değişken zaman serisi , daha sonra çeşitli zamansal örnekleri korelasyonları şekilde bilinmektedir otokorelasyon arasında ve çapraz korelasyon ile zaman içinde geçici çapraz-korelasyon bulunmaktadır. Olasılık ve istatistikte, korelasyon tanımı her zaman korelasyonların -1 ile +1 arasında değerlere sahip olacağı şekilde standartlaştırıcı bir faktör içerir.

Eğer ve ikisi bağımsız rastgele değişken ile olasılık yoğunluk fonksiyonları ve sırasıyla, o zaman farkı olasılık yoğunluk resmi (sinyal işleme anlamında) çapraz korelasyon ile verilir ; ancak bu terminoloji olasılık ve istatistikte kullanılmaz. Bunun aksine, kıvrım (çapraz korelasyon eşdeğer ve ) toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonunu verir .

Deterministik sinyallerin çapraz korelasyonu

Sürekli fonksiyonlar ve için çapraz korelasyon şu şekilde tanımlanır:

 

 

 

 

( Denk.1 )

hangi eşdeğerdir

burada belirtmektedir kompleks bir konjügatı arasında , ve aynı zamanda şu şekilde bilinen yer değiştirme, bir gecikme (bir özelliği de içinde meydana de ).

Eğer ve dönem hem de sürekli periyodik fonksiyonlardır gelen entegrasyon için herhangi bir zaman aralığı boyunca entegre ile değiştirilir uzunluğunun :

 

 

 

 

( Denklem 2 )

hangi eşdeğerdir

Benzer şekilde, ayrık fonksiyonlar için çapraz korelasyon şu şekilde tanımlanır:

 

 

 

 

( Denklem 3 )

hangi eşdeğerdir

.

Sonlu ayrık fonksiyonlar için (dairesel) çapraz korelasyon şu şekilde tanımlanır:

 

 

 

 

( Denk.4 )

hangi eşdeğerdir

.

Sonlu ayrık fonksiyonlar için , çekirdek çapraz korelasyonu şu şekilde tanımlanır:

 

 

 

 

( Denk. 5 )

nerede çekirdek fonksiyonlarının bir vektörüdür ve bir afin dönüşümdür .

Spesifik olarak, dairesel öteleme dönüşümü, döndürme dönüşümü veya ölçek dönüşümü vb. olabilir. Çekirdek çapraz korelasyon, çapraz korelasyonu doğrusal uzaydan çekirdek uzayına uzatır. Çapraz korelasyon, çeviriye eşdeğerdir; çekirdek çapraz korelasyonu, çeviri, döndürme ve ölçek vb. dahil olmak üzere herhangi bir afin dönüşümle eşdeğerdir.

Açıklama

Bir örnek olarak, iki gerçek değerli fonksiyonları dikkate ve x ekseni boyunca bilinmeyen bir kayma ile sadece farklı. x ekseni boyunca ne kadar kaydırılması gerektiğini bulmak için çapraz korelasyon kullanılabilir . Formül, işlevi x ekseni boyunca kaydırır ve her bir konumdaki çarpımlarının integralini hesaplar. Fonksiyonlar eşleştiğinde değeri maksimize edilir. Bunun nedeni, tepe noktaları (pozitif alanlar) hizalandığında integrale büyük katkı sağlamalarıdır. Benzer şekilde, oluklar (negatif alanlar) hizalandığında, iki negatif sayının çarpımı pozitif olduğu için integrale de pozitif katkı sağlarlar.

Çapraz korelasyonun nasıl hesaplandığını görsel olarak gösteren animasyon

İle kompleks değerli fonksiyonların ve alma, konjugat ve sanal bileşenleri ile uyumlu tepe noktaları (veya hizalanmış olukları) entegrali olumlu katkıda sağlar.

Gelen ekonometri , gecikmeli çapraz korelasyon bazen çapraz otokorelasyon olarak adlandırılır.

Özellikler

  • Fonksiyonların çapraz-korelasyon ve eşdeğerdir kıvrıma (ile gösterilmiş ) arasında ve . Yani:
  • Eğer bir olan Hermitesel fonksiyonu daha sonra,
  • Her iki takdirde ve daha sonra, Hermitian vardır .
  • .
  • Evrişim teoremine benzer şekilde , çapraz korelasyon aşağıdakileri sağlar:
    burada belirtmektedir Fourier dönüşümü , ve daha birisinin kompleks eşleniğinin gösterir , çünkü . Hızlı Fourier dönüşüm algoritmaları ile birleştiğinde , bu özellik genellikle çapraz korelasyonların verimli sayısal hesaplanması için kullanılır (bkz. dairesel çapraz korelasyon ).
  • Çapraz korelasyon, spektral yoğunlukla ilgilidir (bkz. Wiener-Khinchin teoremi ).
  • Bir konvolüsyon çapraz-korelasyon ve bir işlev ile bir çapraz-korelasyon evrişim olan ve çekirdek ile :
    .

Rastgele vektörlerin çapraz korelasyonu

Tanım

İçin rasgele vektörler ve her biri aşağıdakileri içeren rasgele elemanları olan beklenen değer ve varyans vardır, çapraz-korelasyon matrisi arasında ve ile tanımlanır

 

 

 

 

( Denklem 3 )

ve boyutları vardır . Bileşen bazında yazılmış:

Rastgele vektörler ve aynı boyuta sahip olmaları gerekmez ve her ikisi de skaler bir değer olabilir.

Örnek

Örneğin, ve rasgele vektörlerse, o zaman -th girişi olan bir matristir .

Karmaşık rastgele vektörlerin tanımı

Eğer ve vardır karmaşık rasgele vektörler , olan beklenen değer ve varyans yapılan her ihtiva eden rastgele değişkenler, çapraz-korelasyon matrisi ve ile tanımlanır

burada Hermityen yer değiştirmeyi gösterir .

Stokastik süreçlerin çapraz korelasyonu

Olarak zaman serisi analizi ve istatistik , bir çift çapraz korelasyon rasgele işlemi iki kez bir fonksiyonu olarak farklı zamanlarda işlemlerin değerleri arasındaki korelasyon vardır. Izin rasgele işlemler bir çift olabilir ve (zaman içinde herhangi bir nokta olarak , bir olabilir tamsayıdır bir için ayrık zamanlı işlem ya da reel sayı , bir için sürekli zaman süreci). Ardından , sürecin belirli bir çalışması tarafından o sırada üretilen değer (veya gerçekleşme ) .

Çapraz korelasyon işlevi

İşlem aracı olduğunu varsayalım ve ve sapmalar ve zaman her biri için, . Daha sonra zaman arasındaki çapraz korelasyon nedir ve IS

 

 

 

 

( Denk.4 )

burada olduğu beklenen değer operatörü. Bu ifadenin tanımlı olmayabileceğini unutmayın.

Çapraz kovaryans fonksiyonu

Çarpmadan önce ortalamanın çıkarılması, zamanlar ve arasındaki çapraz kovaryansı verir :

 

 

 

 

( Denk. 5 )

Ortalama veya varyans mevcut olmayabileceğinden, bu ifadenin tüm zaman serileri veya süreçler için iyi tanımlanmadığına dikkat edin.

Geniş anlamda durağan stokastik süreç tanımı

Izin bir çift temsil stokastik süreçler vardır ortaklaşa geniş anlamda durağan . Daha sonra çapraz kovaryans fonksiyonu ve çapraz korelasyon fonksiyonu aşağıdaki gibi verilmiştir.

Çapraz korelasyon işlevi

 

 

 

 

( Denk.6 )

Veya eşdeğer olarak

Çapraz kovaryans fonksiyonu

 

 

 

 

( Denk.7 )

Veya eşdeğer olarak

durağanlık nedeniyle zaman içinde sabit olan sürecin ortalama ve standart sapması nerede ve nerededir; ve benzer şekilde sırasıyla için. beklenen değeri gösterir . Çapraz kovaryans ve çapraz korelasyonun bağımsız olduğu , tam olarak birlikte geniş anlamda durağan olan gereksinim tarafından iletilen ek bilgilerdir (bireysel olarak geniş anlamda durağan olmanın ötesinde) .

Ortak geniş anlamda durağan stokastik süreçlerin bir çiftinin çapraz korelasyonu, bir süreçten ölçülen örneklerin ve diğerinden ölçülen örneklerin (ve zaman kaymalarının) ortalaması alınarak tahmin edilebilir. Ortalamaya dahil edilen örnekler, sinyaldeki tüm örneklerin keyfi bir alt kümesi olabilir (örneğin, sonlu bir zaman penceresi içindeki örnekler veya sinyallerden birinin alt örneklemesi ). Çok sayıda örnek için, ortalama gerçek çapraz korelasyona yakınsar.

normalleştirme

Zamana bağlı bir Pearson korelasyon katsayısı elde etmek için çapraz korelasyon fonksiyonunu normalleştirmek bazı disiplinlerde (örneğin istatistik ve zaman serisi analizi ) yaygın bir uygulamadır . Ancak, diğer disiplinlerde (örneğin mühendislik) normalleştirme genellikle bırakılır ve "çapraz korelasyon" ve "çapraz kovaryans" terimleri birbirinin yerine kullanılır.

Stokastik bir sürecin normalleştirilmiş çapraz korelasyonunun tanımı şu şekildedir:

.

Fonksiyonu ise , iyi tanımlanmış olup, değeri aralığı içerisinde yer almalıdır 1 mükemmel bir ilişki gösteren -1 mükemmel gösteren ile, bir anti-korelasyon .

Ortak geniş anlamda durağan stokastik süreçler için tanım,

.

Normalleştirme, hem otokorelasyonun bir korelasyon olarak yorumlanması, istatistiksel bağımlılığın gücünün ölçeksiz bir ölçüsünü sağladığı için , hem de normalizasyonun, tahmin edilen otokorelasyonların istatistiksel özellikleri üzerinde bir etkisi olduğu için önemlidir.

Özellikler

simetri özelliği

Ortak geniş anlamda durağan stokastik süreçler için çapraz korelasyon fonksiyonu aşağıdaki simetri özelliğine sahiptir:

Ortaklaşa WSS süreçleri için sırasıyla:

Zaman gecikmesi analizi

Çapraz korelasyonlar , iki sinyal arasındaki zaman gecikmesini belirlemek için, örneğin akustik sinyallerin bir mikrofon dizisi boyunca yayılması için zaman gecikmelerini belirlemek için faydalıdır. İki sinyal arasındaki çapraz korelasyonu hesapladıktan sonra, çapraz korelasyon fonksiyonunun maksimum (veya sinyaller negatif korelasyonluysa minimum) zaman içinde sinyallerin en iyi hizalandığı noktayı gösterir; yani, iki sinyal arasındaki zaman gecikmesi , çapraz korelasyonun maksimum argümanı veya arg max tarafından belirlenir .

Görüntü işlemede terminoloji

Sıfır normalleştirilmiş çapraz korelasyon (ZNCC)

İçin görüntü işleme görüntü ve şablonun parlaklık ışık ve pozlama koşulları nedeniyle değişebilir ettiği uygulamalar görüntüleri ilk normalize edilebilir. Bu tipik olarak her adımda ortalamanın çıkarılması ve standart sapmaya bölünmesiyle yapılır . Yani, bir şablonun bir alt görüntü ile çapraz korelasyonu şu şekildedir :

.

burada piksel sayısını ve , ortalamasıdır ve bir standart sapma arasında .

Gelen fonksiyonel analiz açısından, bu iki nokta ürünü olarak düşünülebilir normalize vektörler . Yani, eğer

ve

o zaman yukarıdaki toplam eşittir

burada bir iç çarpım ve bir L ² norm . Cauchy-Schwarz daha sonra ZNCC'nin .

Bu nedenle, ve gerçek matrislerse, bunların normalleştirilmiş çapraz korelasyonu, birim vektörler ve arasındaki açının kosinüsüne eşittir, bu durumda ve ancak ve ancak eşit bir pozitif skaler ile çarpılırsa olur .

Normalleştirilmiş korelasyon, bir görüntü içindeki bir desen veya nesnenin olaylarını bulmak için kullanılan bir süreç olan şablon eşleştirme için kullanılan yöntemlerden biridir . Aynı zamanda Pearson moment çarpım korelasyon katsayısının 2 boyutlu versiyonudur .

Normalleştirilmiş çapraz korelasyon (NCC)

NCC, yoğunlukların yerel ortalama değerini çıkarmama farkıyla ZNCC'ye benzer:

Doğrusal olmayan sistemler

Doğrusal olmayan sistemler için çapraz korelasyon kullanılırken dikkatli olunmalıdır. Girdinin özelliklerine bağlı olan belirli durumlarda, doğrusal olmayan dinamiklere sahip bir sistemin girdisi ve çıktısı arasındaki çapraz korelasyon, belirli doğrusal olmayan etkilere tamamen kör olabilir. Bu problem, bazı ikinci dereceden momentlerin sıfıra eşit olabilmesinden ve bu, iki sinyal arasında doğrusal olmayan dinamiklerle güçlü bir şekilde ilişkiliyken, iki sinyal arasında (istatistiksel bağımlılık anlamında) çok az "korelasyon" (istatistiksel bağımlılık anlamında) olduğunu yanlış bir şekilde öne sürmesi nedeniyle ortaya çıkar.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

  • Tahmasebi, Pejman; Hezarkhani, Ardeşir; Sahimi, Muhammed (2012). "Çapraz korelasyon fonksiyonlarına dayalı çok noktalı jeoistatistiksel modelleme". Hesaplamalı Yerbilimleri . 16 (3): 779-797. doi : 10.1007/s10596-012-9287-1 .

Dış bağlantılar