Kritik üs - Critical exponent

Kritik üsler , sürekli faz geçişlerine yakın fiziksel niceliklerin davranışını tanımlar . Kanıtlanmamış olmalarına rağmen evrensel olduklarına inanılmaktadır, yani fiziksel sistemin ayrıntılarına değil, sadece bazı genel özelliklerine bağlıdırlar. Örneğin, ferromanyetik sistemler için kritik üsler yalnızca şunlara bağlıdır:

sistemin boyutu
etkileşim aralığı
Spin boyut

Kritik üslerin bu özellikleri deneysel verilerle desteklenir. Analitik sonuçlar teorik olarak ortalama alan teorisinde yüksek boyutlarda veya iki boyutlu Ising modeli gibi kesin çözümler bilindiğinde elde edilebilir . Genel boyutlardaki teorik tedavi, renormalizasyon grubu yaklaşımını veya uyumlu önyükleme tekniklerini gerektirir. Faz geçişleri ve kritik üsler, sıvı-buhar geçişinde su gibi birçok fiziksel sistemde, manyetik sistemlerde, süperiletkenlikte, süzülmede ve türbülanslı akışkanlarda ortaya çıkar. Ortalama alan üslerinin geçerli olduğu kritik boyut, sistemlere göre değişir ve hatta sonsuz olabilir. Sıvı-buhar geçişi için 4, sızma için 6 ve türbülans için muhtemelen sonsuzdur. Ortalama alan kritik üsleri, sonsuz boyutlu sistemler olarak kabul edilebilecek Erdős–Rényi grafikleri gibi rastgele grafikler için de geçerlidir.

Tanım

Faz geçişlerini yönlendiren kontrol parametresi genellikle sıcaklıktır ancak basınç veya harici bir manyetik alan gibi diğer makroskopik değişkenler de olabilir. Basitlik için, aşağıdaki tartışma sıcaklık açısından işe yarar; başka bir kontrol parametresine çeviri basittir. Geçiş meydana geldiği sıcaklığı denir kritik sıcaklık $T C$ . Fiziksel bir nicelik $f'nin$ davranışını , kritik sıcaklık etrafındaki bir güç yasası cinsinden tanımlamak istiyoruz ; azaltılmış sıcaklığı tanıtıyoruz

\tau :={\frac {T-T_{\mathrm {c} }}{T_{\mathrm {c} }}}

faz geçişinde sıfır olan ve kritik üssü tanımlayın : ${\görüntüleme stili k}$

k\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,\lim _{\tau \to 0}{\frac {\log |f(\tau )|}{\log | \tau |}}

Bu, aradığımız güç yasasıyla sonuçlanır:

f(\tau )\propto \tau ^{k}\,,\quad \tau \to 0

Bunun $f (τ)$ fonksiyonunun asimptotik davranışını $τ \to 0$ olarak temsil ettiğini hatırlamak önemlidir .

Daha genel olarak biri beklenebilir

f(\tau )=A\tau ^{k}\sol(1+b\tau ^{k_{1}}+\cdots \sağ)

En önemli kritik üsler

Bize sistem ile karakterize edilen iki farklı aşamalarını olduğunu varsayalım parametre için $Ψ$ ve üzerinde kaybolur, $T c$ .

Göz önünde düzensiz fazı ( $τ > 0$ ), sıralı faz ( $τ <0$ ) ve kritik sıcaklık ( $τ = 0$ ayrı ayrı) fazları. Standart konvansiyonu takiben, sıralı faz ile ilgili kritik üsler hazırlanır. Düzensiz (düzenli) durum için üst simge/alt simge + (-) kullanmak da başka bir standart kuraldır. Genel olarak, sıralı fazda kendiliğinden simetri kırılması meydana gelir.

Tanımlar
$Ψ$	sipariş parametresi (örn. $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ρ - ρ c/ρ c$ sıvı-gaz kritik noktası için, Curie noktası için manyetizasyon vb.)
$τ$	$T - T c / T c$
$F$	özgül serbest enerji
$C$	özgül ısı ; $- T \partial 2 f / \partial T 2$
$J$	kaynak alanı (örn. $P - P c / p c$ burada $P$ bir basınç ve $p c$ kritik basıncı azaltılmış sıvı-gaz kritik nokta için, kimyasal potansiyele , manyetik alan $H$ için , Curie noktasının )
$χ$	duyarlılık , sıkıştırılabilirlik , vs .; $\partial ψ / \partial J$
$ξ$	korelasyon uzunluğu
$NS$	uzaysal boyutların sayısı
$⟨ ψ (x \to) ψ (y \to)⟩$	ilinti işlevi
$r$	uzaysal mesafe

Aşağıdaki girişler $J = 0'da$ değerlendirilir ( $δ$ girişi hariç )

$τ > 0$ (düzensiz faz) için kritik üsler
Yunan harfi	ilişki
$α$	$C \propto τ - α$
$y$	$χ \propto τ - γ$
$ν$	$ξ \propto τ - ν$

$τ < 0$ (sıralı faz) için kritik üsler
Yunan harfi	ilişki
$α'$	$C \propto (- τ) - α'$
$β$	$Ψ \propto (- τ) β$
$y'$	$χ \propto (- τ) - γ'$
$ν'$	$ξ \propto (- τ) - ν'$

$τ$ $= 0$ için kritik üsler
Yunan harfi	ilişki
$δ$	$J \propto Ψ δ$
$η$	$⟨ ψ (0) ψ (r)⟩ \propto r - d + 2 - η$

Kritik üsler , kaynağın ve sıcaklığın bir fonksiyonu olarak özgül serbest enerji $f (J, T)'$ den türetilebilir . Korelasyon uzunluğu, fonksiyonel $F [J; T]$ .

Bu ilişkiler, iki ve üç boyutlu sistemlerde kritik noktaya yakın doğrudur. Ancak dört boyutta, güç yasaları logaritmik faktörler tarafından değiştirilir. Bunlar, keyfi olarak yakın olan ancak tam olarak dört olmayan boyutlarda görünmezler ve bu, bu soruna bir çözüm olarak kullanılabilecektir .

Ising benzeri sistemlerin ortalama alan kritik üsleri

Klasik Landau teorisi (aynı zamanda ortalama alan teorisi olarak da bilinir ) bir skaler alan için kritik üslerin değerleri (ki bunun prototip örneği Ising modelidir ) ile verilmektedir.

\alpha =\alpha ^{\prime }=0\,,\quad \beta ={\tfrac {1}{2}}\,,\quad \gamma =\gamma ^{\prime }=1 \,,\dörtlü \delta =3

Ginzburg-Landau teorisini ortalama alana dönüştüren türev terimleri eklersek , şunu elde ederiz:

\eta =0\,,\quad \nu ={\tfrac {1}{2}}

Kritik fenomen çalışmasındaki en büyük keşiflerden biri, kritik noktaların ortalama alan teorisinin yalnızca sistemin uzay boyutu , fiziksel boyutlar 1, 2 veya 3'ü dışlayan üst kritik boyut olarak adlandırılan belirli bir boyuttan daha yüksek olduğunda doğrudur. çoğu durumda. Ortalama alan teorisindeki problem, kritik üslerin uzay boyutuna bağlı olmamasıdır. Bu, gerçek kritik üslerin ortalama alan değerlerinden farklı olduğu kritik boyutların altında nicel bir tutarsızlığa yol açar. Hatta ortalama alan teorisi hala bir tane olduğunu tahmin etse de, kritik bir noktanın artık var olamayacağı düşük uzay boyutunda niteliksel bir farklılığa bile yol açabilir. Bu, faz geçişinin olmadığı 1. boyuttaki Ising modeli için geçerlidir. Ortalama alan teorisinin niteliksel olarak yanlış olduğu uzay boyutu, alt kritik boyut olarak adlandırılır.

deneysel değerler

$α'nın$ en doğru ölçülen değeri, süperakışkan helyumun faz geçişi için −0.0127(3)'tür ( lamda geçişi olarak adlandırılır ). Değer, numunedeki basınç farklılıklarını en aza indirmek için bir uzay mekiği üzerinde ölçülmüştür. Bu değer, yüksek sıcaklık genleşme tekniklerinden, Monte Carlo yöntemlerinden ve konformal önyüklemeden gelen en kesin teorik belirlemelerle önemli bir uyumsuzluk içindedir .

Fizikte çözülmemiş problem :

Helyum-4'teki süperakışkan geçişi için ısı kapasitesi kritik üssü $α'nın$ deneysel ve teorik belirlemeleri arasındaki farkı açıklayın .

(fizikte daha çözülmemiş problemler)

teorik tahminler

Kritik üsler, kafes modellerinin Monte Carlo simülasyonları ile değerlendirilebilir . Bu birinci ilke yönteminin doğruluğu, sonsuz hacim sınırına gitme ve istatistiksel hataları azaltma yeteneğini belirleyen mevcut hesaplama kaynaklarına bağlıdır. Diğer teknikler, kritik dalgalanmaların teorik olarak anlaşılmasına dayanır. En yaygın olarak uygulanan teknik, renormalizasyon grubudur . Uygun önyükleme , daha yakın zamanda geliştirilmiş bir tekniktir ve Ising kritik üsleri için emsalsiz bir doğruluk elde etmiştir .

Ölçekleme işlevleri

Kritik ölçeklemelerin ışığında, tüm termodinamik nicelikleri boyutsuz nicelikler olarak yeniden ifade edebiliriz. Kritik noktaya yeterince yakın olan her şey, indirgenmiş niceliklerin güçlerinin belirli oranları cinsinden yeniden ifade edilebilir. Bunlar ölçekleme işlevleridir.

Ölçekleme işlevlerinin kökeni, yeniden normalleştirme grubundan görülebilir. Kritik nokta, kızılötesi sabit bir noktadır . Kritik noktanın yeterince küçük bir komşuluğunda, yeniden normalleştirme grubunun eylemini doğrusallaştırabiliriz. Bu temelde araçlar kat sistemini rescaling o $bir$ kat operatörleri ve kaynak alanları rescaling eşit olacaktır $bir Ô$ bazıları için $Ô$ . Böylece, tüm miktarları yeniden ölçeklendirilmiş ölçekten bağımsız nicelikler açısından yeniden parametrelendirebiliriz.

ölçekleme ilişkileri

Uzun bir süre kritik üslerin kritik sıcaklığın üstünde ve altında aynı olduğuna inanılıyordu, örneğin $α \equiv α'$ veya $γ \equiv γ'$ . Bunun zorunlu olarak doğru olmadığı şimdi gösterilmiştir: Sürekli bir simetri, ilgisiz (yeniden normalleştirme grubu anlamında) anizotropiler tarafından açıkça ayrı bir simetriye bölündüğünde, $γ$ ve $γ'$ üsleri aynı değildir.

Kritik üsler Yunan harfleriyle gösterilir. Onlar düşmek evrensellik sınıfları ve itaat ölçekleme ve üstünölçekleme ilişkileri

{\begin{hizalanmış}\nu d&=2-\alpha =2\beta +\gamma =\beta (\delta+1)=\gamma {\frac {\delta +1}{\delta -1 }}\\2-\eta &={\frac {\gamma }{\nu }}=d{\frac {\delta -1}{\delta +1}}\end{hizalı}}

Bu denklemler sadece iki bağımsız üstel olduğunu ima eder, örneğin, $ν$ ve $η$ . Bütün bunlar renormalizasyon grubu teorisinden kaynaklanmaktadır .

anizotropi

Korelasyon uzunluğunun yöne bağlı olduğu bazı anizotropik sistemler vardır . Sızma için Dayan ve ark.

Yönlendirilmiş süzülme, anizotropik süzülme olarak da kabul edilebilir. Bu durumda kritik üsler farklıdır ve üst kritik boyut 5'tir.

çok kritik noktalar

Çok kritik noktalarda , sınırda veya kritik manifoldların kesişme noktalarında daha karmaşık davranışlar meydana gelebilir . Sıcaklık ve basınç gibi iki veya daha fazla parametrenin değerini ayarlayarak bunlara ulaşılabilir.

Statik ve dinamik özellikler

Yukarıdaki örnekler, yalnızca kritik bir sistemin statik özelliklerine atıfta bulunur. Ancak sistemin dinamik özellikleri de kritik hale gelebilir. Özellikle, bir sistemin karakteristik zamanı $τ char$ , dinamik bir üs $z$ ile $τ char \propto ξ z$ olarak uzaklaşır . Ayrıca, aynı statik kritik üslere sahip eşdeğer modellerin büyük statik evrensellik sınıfları , dinamik üslerin de aynı olması istenirse, daha küçük dinamik evrensellik sınıflarına ayrışır .

Kritik üsler, konformal alan teorisinden hesaplanabilir .

Ayrıca bkz . anormal ölçeklendirme boyutu .

Taşıma özellikleri

Viskozite ve ısı iletkenliği gibi taşıma miktarları için kritik üsler de mevcuttur . Yakın zamanda yapılan bir araştırma, kritik sızıntı üslerinin kentsel trafikte önemli bir rol oynadığını öne sürüyor.

Kendi kendine organize kritiklik

Enerji tüketen sistemler için kendi kendini organize eden kritiklik için kritik üsler de mevcuttur .

Sızma Teorisi

Faz geçişleri ve kritik üsler, işgal edilen sitelerin veya bağlantıların konsantrasyonunun sıcaklık rolünü oynadığı süzülme süreçlerinde de ortaya çıkar. En basit örnek, belki de iki boyutlu bir kare kafeste süzülmedir. Siteler rasgele olasılık p ile doldurulur. Küçük p değerleri için, işgal edilen alanlar yalnızca küçük kümeler oluşturur. Belirli bir eşik pc'de dev bir küme oluşur ve ikinci dereceden bir faz geçişimiz olur. Sızma kritik üslerine bakın . Sızma için kritik üsler Ising'den farklıdır. Örneğin, Ising ile karşılaştırıldığında sızma için ortalama alanda . Ağ teorisinde, topluluklar arasındaki etkileşimlerin gücünün, faz geçişine yakın mıknatıslardaki harici bir alana veya süzülmede hayalet alan gibi davrandığı bulunmuştur. ${\görüntüleme stili \delta =2}$ ${\görüntüleme stili \delta =3}$

Ayrıca bakınız

Kritik üslerin sayısal değerleri için evrensellik sınıfı
Karmaşık ağlar
Rastgele grafikler
Rushbrooke eşitsizliği
Widom ölçekleme
konformal önyükleme
Kritik üsler
Percolation kritik üsleri
ağ bilimi
süzülme teorisi
Grafik teorisi

Dış bağlantılar ve literatür

Hagen Kleinert ve Verena Schulte-Frohlinde, ⁴ -Teorilerin Kritik Özellikleri , World Scientific (Singapur, 2001) ; Ciltsiz ISBN 981-02-4658-7
Toda, M., Kubo, R., N. Saito, Statistical Physics I , Springer-Verlag (Berlin, 1983); Ciltli ISBN 3-540-11460-2
JMYeomans, Faz Geçişlerinin İstatistiksel Mekaniği , Oxford Clarendon Press
HE Stanley Faz Geçişlerine ve Kritik Olaylara Giriş , Oxford University Press, 1971
A. Bunde ve S. Havlin (editörler), Fractals in Science , Springer, 1995
A. Bunde ve S. Havlin (editörler), Fraktallar ve Düzensiz Sistemler , Springer, 1996
Sklogwiki'den evrensellik sınıfları
Zinn-Justin, Jean (2002). Kuantum alan teorisi ve kritik fenomenler , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5
Zinn-Justin, J. (2010). "Kritik fenomen: alan teorik yaklaşımı" Scholarpedia makalesi Scholarpedia, 5(5):8346.
D. Polonya, S. Rychkov, A. Vichi, "Konformal Önyükleme: Teori, Sayısal Teknikler ve Uygulamalar" , Rev.Mod.Phys. 91 (2019) 015002, http://arxiv.org/abs/1805.04405
F. Leonard ve B. Delamotte Kritik üsler bir geçişin iki tarafında farklı olabilir: Genel bir mekanizma https://arxiv.org/abs/1508.07852

Languages

In other projects