Cramér – von Mises kriteri - Cramér–von Mises criterion

Olarak istatistik Cramér-von Mises kriteri yargılanması için kullanılan bir kriterdir uyum iyiliğini a kümülatif dağılım fonksiyonunun belli bir göre ampirik dağılım fonksiyonu , ya da iki deneysel mukayese etmek için. Ayrıca, minimum mesafe tahmini gibi diğer algoritmaların bir parçası olarak da kullanılır . Olarak tanımlanır ${\ displaystyle F ^ {*}}$ ${\ displaystyle F_ {n}}$

${\ displaystyle \ omega ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} [F_ {n} (x) -F ^ {*} (x)] ^ {2} \, \ mathrm { d} F ^ {*} (x)}$

Tek örnek uygulamalarda teorik dağılımı ve bir deneysel gözlenen dağılım . Alternatif olarak, iki dağılımın her ikisi de ampirik olarak tahmin edilenler olabilir; buna iki örnek olay denir. ${\ displaystyle F ^ {*}}$${\ displaystyle F_ {n}}$

Kriter, adını ilk kez 1928–1930'da öneren Harald Cramér ve Richard Edler von Mises'in adını almıştır . İki örneğe genelleme Anderson'a bağlıdır .

Cramér – von Mises testi, Kolmogorov-Smirnov testine (1933) bir alternatiftir .

Cramér – von Mises testi (bir örnek)

Artan sırada gözlenen değerler olsun . O zaman istatistik ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {n}}$

${\ displaystyle T = n \ omega ^ {2} = {\ frac {1} {12n}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sol [{\ frac {2i-1} {2n} } -F (x_ {i}) \ sağ] ^ {2}.}$

Bu değer tablodaki değerden büyükse, verilerin dağıtımdan geldiği hipotezi reddedilebilir. ${\ displaystyle F}$

Watson testi

Cramér-von Mises testinin değiştirilmiş bir versiyonu istatistiğini kullanarak Watson test u ² ,

${\ displaystyle U ^ {2} = Tn ({\ bar {F}} - {\ tfrac {1} {2}}) ^ {2},}$

nerede

${\ displaystyle {\ bar {F}} = {\ frac {1} {n}} \ toplam _ {i = 1} ^ {n} F (x_ {i}).}$

Cramér – von Mises testi (iki örnek)

Izin vermek ve sırasıyla birinci ve ikinci örnekte gözlenen değerler, artan sırayla olsun. Izin vermek birleşik örnekteki x'lerin sıraları ve birleşik örnekteki y'lerin sıraları olsun . Anderson gösteriyor ki ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {N}}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ cdots, y_ {M}}$${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, \ cdots, r_ {N}}$${\ displaystyle s_ {1}, s_ {2}, \ cdots, s_ {M}}$

${\ displaystyle T = {\ frac {NM} {N + M}} \ omega ^ {2} = {\ frac {U} {NM (N + M)}} - {\ frac {4MN-1} {6 (M + N)}}}$

U şu şekilde tanımlanır:

${\ displaystyle U = N \ toplamı _ {i = 1} ^ {N} (r_ {i} -i) ^ {2} + M \ toplamı _ {j = 1} ^ {M} (s_ {j} - j) ^ {2}}$

T'nin değeri tablodaki değerlerden daha büyükse, iki örneğin aynı dağılımdan geldiği hipotezi reddedilebilir. (Bazı kitaplar, yukarıdaki ifade yoluyla T'yi hesaplama ihtiyacını ortadan kaldırdığı için daha uygun olan U için kritik değerler verir. Sonuç aynı olacaktır).

Yukarıdaki herhangi bir çoğaltmaları varsayar , ve dizileri içerir. Aynı şekilde benzersizdir ve sıralaması sıralı listede yer alır . Orada çiftleri varsa ve içinden sıralı listede aynı değerlerin bir çalışma, daha sonra ortak bir yaklaşımdır midrank yöntemi: Her bir "rütbe" yinelenen atamak . Yukarıdaki denklemlerde, ifadelerde ve , çiftleri dört değişkenleri değiştirebilir , , , ve . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle x_ {1}, ... x_ {N}}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle x_ {j}}$${\ displaystyle (i + j) / 2}$${\ displaystyle (r_ {i} -i) ^ {2}}$${\ displaystyle (s_ {j} -j) ^ {2}}$${\ displaystyle r_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle s_ {j}}$${\ displaystyle j}$

Referanslar

• MA Stephens (1986). "EDF İstatistiklerine Dayalı Testler". D'Agostino'da, RB; Stephens, MA (editörler). Uyum İyiliği Teknikleri . New York: Marcel Dekker. ISBN   0-8247-7487-6 .

daha fazla okuma

• Xiao, Y .; A. Gordon; A. Yakovlev (Ocak 2007). "Cramér – von Mises İki Örnek Testi için C ++ Programı" (PDF) . İstatistiksel Yazılım Dergisi . Amerikan İstatistik Derneği . 17 (8). doi : 10.18637 / jss.v017.i08 . ISSN   1548-7660 . OCLC   42456366 . Erişim tarihi: June 12, 2009 .