Kapak (topoloji) - Cover (topology)
In matematik , özellikle topoloji , bir kapak a kümesi olan birlik içeren setler topluluğudur bir şekilde alt kümesi . Resmi olarak bir olduğunu endeksli aile setleri ardından bir örtü halinde
Topolojide kapak
Kapaklar genellikle topoloji bağlamında kullanılır . Grubu ise X, a, topolojik alan , daha sonra bir kapak C arasında X alt-topluluğudur U α ( α ∈ bir ) bir X olan birlik bütün alandır x . Bu durumda biz söylemek C kapakları X veya kümeler olduğunu U a kapak X . Ayrıca, Y bir alt kümesi , X , o zaman bir kapak arasında Y altkümelerinden bir koleksiyon X birliği içeren , Y , yani, Cı bir kapak olup Y ise
C bir X topolojik uzayının örtüsü olsun . Bir alt örtüye ait C bir alt kümesidir C hala kapsar X .
C'nin bir olduğunu söylüyoruz açık kapak üyelerinin her bir iseaçık grubu(yani, her birU α içerdiği, T,Tile topolojisi olanX).
Bir kapak X olduğu söylenir lokal sonlu her nokta ise X bir sahiptir mahalle kesişen sadece sonlu kapak birçok setleri. Biçimsel olarak, C = { U α } yerel olarak sonludur eğer herhangi biri için x'in bir N ( x ) komşusu varsa , öyle ki küme
sonlu. Bir kapak X olduğu söylenir nokta sonlu örgü her nokta ise X kapağında sadece sonlu sayıda kümeler içinde yer alır. Bir örtü, yerel olarak sonluysa nokta sonludur, ancak tersi mutlaka doğru değildir.
arıtma
Bir arıtma bir kapağın bir topolojik uzayın yeni kapak arasında her kümesi içinde öyle bazı sette bulunan . resmi olarak,
- bir arıtma olduğunu herkes için eğer vardır öyle
Başka bir deyişle, her biri için tatmin edici bir iyileştirme haritası vardır. Bu harita, örneğin Čech kohomolojisinde kullanılır .
Her alt kapak aynı zamanda bir iyileştirmedir, ancak bunun tersi her zaman doğru değildir. Kapaktaki takımlardan bir alt kapak yapılır, ancak bazıları atlanır; kapaktaki kümelerin alt kümeleri olan herhangi bir kümeden bir iyileştirme yapılır.
İyileştirme ilişkisi, kapakları setinde bir ön sipariştir .
Genel olarak konuşursak, belirli bir yapının iyileştirilmesi, bir anlamda onu içeren başka bir şeydir. Topolojiler ( öklid uzayındaki standart topoloji , önemsiz topolojinin bir iyileştirmesidir ) göz önüne alındığında, bir aralığı bölümlere ayırırken ( varlığın bir iyileştirmesi ) örnekler bulunabilir . Basit kompleksleri alt bölümlere ayırırken ( basit bir kompleksin ilk barycentric alt bölümü bir iyileştirmedir), durum biraz farklıdır: daha ince kompleksteki her simpleks , daha kaba olandaki bir simplex'in bir yüzüdür ve her ikisinin de temelinde eşit çokyüzlüler vardır.
Bir başka arıtma kavramı da yıldız arıtmasıdır .
alt kapak
Bir alt kapak elde etmenin basit bir yolu, kapaktaki başka bir sette bulunan setleri atlamaktır. Özellikle açık kapakları düşünün. Izin bir topolojik temel teşkil ve açık bir kapak olmak Birinci almak Sonra bir arıtma olduğunu . Ardından, her biri için bir içeren seçiyoruz (seçim aksiyomunu gerektiren). Öyleyse , bir açık kapağın alt örtüsünün kardinalitesi, herhangi bir topolojik temelinki kadar küçük olabilir. Dolayısıyla özellikle ikinci sayılabilirlik Lindelöf uzayını ima eder .
kompaktlık
Kapakların dili genellikle kompaktlıkla ilgili çeşitli topolojik özellikleri tanımlamak için kullanılır . Bir topolojik uzay X olduğu söylenir
- Kompakt
- her açık kapağın sonlu bir alt örtüsü varsa (veya eşdeğer olarak her açık kapağın sonlu bir iyileştirmesi varsa);
- Lindelöf
- her açık kapağın sayılabilir bir alt kapağı varsa (veya eşdeğer olarak her açık kapağın sayılabilir bir arıtması varsa);
- metakompakt
- her açık kapağın nokta sonlu bir açık iyileştirmesi varsa;
- Parakompakt
- eğer her açık kapak yerel olarak sonlu bir açık iyileştirmeye izin veriyorsa.
Daha fazla varyasyon için yukarıdaki makalelere bakın.
Kaplama boyutu
Topolojik alan X, bir olduğu söylenir boyutu kapsayan , n nin her açık kapak ise X örneğin bir nokta-sonlu açık arıtma sahip herhangi bir nokta, X fazla dahildir 1 + n arıtma ve eğer setleri , n en az bir değerdir bunun için doğru. Böyle bir minimum n yoksa, uzayın sonsuz kaplama boyutunda olduğu söylenir.
Ayrıca bakınız
- Atlas (topoloji)
- Kaplama alanı
- Bir kümenin bölünmesi
- Kapak sorunu ayarla
- Yıldız iyileştirme
- Grothendieck topolojisi
Notlar
Referanslar
- Topolojiye Giriş, İkinci Baskı , Theodore W. Gamelin ve Robert Everist Greene. Dover Yayınları 1999. ISBN 0-486-40680-6
- Genel Topoloji , John L. Kelley . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.
Dış bağlantılar
- "Kaplama (bir kümenin)" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]