Klasik elektromanyetizmanın kovaryant formülasyonu - Covariant formulation of classical electromagnetism

Bildirdiğinden formülasyonu klasik elektromanyetizma klasik elektromanyetizma yasalarını yazma yolları belirtir (özellikle, Maxwell denklemleri ve Lorentz kuvveti ) altında açıkça değişmez bir biçimde Lorentz dönüşümleri arasında formalizminde, özel görelilik düz çizgili kullanılarak koordinat sistemleri atalet . Bu ifadeler hem klasik elektromanyetizma yasalarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı biçimi aldığını kanıtlamayı basitleştirir, hem de alanları ve kuvvetleri bir çerçeveden diğerine çevirmenin bir yolunu sağlar. Ancak bu, Maxwell'in eğri uzay - zaman veya doğrusal olmayan koordinat sistemlerindeki denklemleri kadar genel değildir .

Bu makale baştan sona tensörlerin klasik tedavisini ve Einstein toplama kuralını kullanır ve Minkowski metriği diag(+1, -1, -1, -1) biçimindedir. Denklemlerin bir boşlukta tutma olarak belirtildiği yerde, bunun yerine Maxwell denklemlerinin toplam yük ve akım cinsinden formülasyonu olarak kabul edilebilir .

Bu resmin çeşitli kavramsal çıkarımları da dahil olmak üzere, klasik elektromanyetizma ve özel görelilik arasındaki ilişkilere daha genel bir bakış için bkz. Klasik elektromanyetizma ve özel görelilik .

kovaryant nesneler

Ön dört-vektörler

Bu makalede cisimleri veya parçacıkları tanımlamak için aşağıdaki türden Lorentz tensörleri kullanılabilir:

burada γ ( U ) olan Lorentz faktörü 3-hızda u .
burada 3-momentum, olan toplam enerji , ve bir geri kalan kütle .
  • D'Alembertian operatör gösterilir , .

Aşağıdaki tensör analizindeki işaretler , metrik tensör için kullanılan konvansiyona bağlıdır . Burada kullanılan kural (+ − − ) , Minkowski metrik tensörüne karşılık gelir :

elektromanyetik tensör

Elektromanyetik tensör, elektrik ve manyetik alanların , girişleri B- alan miktarları olan kovaryant bir antisimetrik tensörde birleşimidir.


ve endekslerini yükseltmenin sonucu

burada E bir elektrik alanı , B manyetik alan ve c ışık hızı .

dört akım

Dört akım birleştiren kontravaryant dört vektördür elektrik yükü yoğunluğu p ve elektrik akımı yoğunluğu j :

dört potansiyel

Elektromanyetik dört potansiyel, elektrik potansiyelini ( skaler potansiyel olarak da adlandırılır ) ϕ ve manyetik vektör potansiyelini (veya vektör potansiyelini ) A içeren bir kovaryant dört vektördür , aşağıdaki gibidir:

Elektromanyetik potansiyelin diferansiyeli

Eğri uzay-zamanlara genelleme sağlayan diferansiyel formlar dilinde , bunlar sırasıyla 1-form ve 2-formun bileşenleridir . Burada ise dış türev ve kama ürünü .

Elektromanyetik stres-enerji tensörü

Elektromanyetik stres-enerji tensörü, momentum dört-vektörünün akı yoğunluğu olarak yorumlanabilir ve elektromanyetik alanların toplam stres-enerji tensörüne katkısı olan zıt değişkenli simetrik bir tensördür :

burada bir vakum elektrik geçirgenlik , μ 0 olan vakum manyetik geçirgenliği , Poynting vektörü olan

ve Maxwell stres tensörü ile verilir

Elektromanyetik alan tensörü F , elektromanyetik stres-enerji tensörünü T aşağıdaki denklemle oluşturur:

burada η olan Minkowsky metrik tensör (imza ile (+ - - -) ). Şu gerçeği kullandığımıza dikkat edin:

hangi Maxwell denklemleri tarafından tahmin edilir.

Maxwell denklemleri vakumda

Vakumda (veya makroskopik malzeme tanımlarını içermeyen mikroskobik denklemler için), Maxwell denklemleri iki tensör denklemi olarak yazılabilir.

Homojen olmayan iki Maxwell denklemi, Gauss Yasası ve Ampère yasası (Maxwell düzeltmesiyle birlikte) ( (+ − − −) metriğiyle):

GaussAmper yasası

Homojen denklemler ise - Faraday indüksiyon yasası ve manyetizma için Gauss yasası oluşturmak üzere birleştirmek , hangi Levi-Civita ikiliği olarak kullanılarak yazılmıştır edilebilir:

GaussFaraday yasası

burada F αβ olan elektromanyetik tensör , J α olan dört akım , s αβγδ olan Levi-Civita sembolü ve göre hareket endeksleri Einstein Toplam esası .

Bu tensör denklemlerinin her biri, her bir β değeri için bir tane olmak üzere dört skaler denkleme karşılık gelir .

Kullanma antisymmetric tensör kısmi türevi için gösterim ve virgül gösterimini (bakınız Ricci taşı ), ikinci denklem ve daha kısa bir yazılabilir:

Kaynakların yokluğunda, Maxwell denklemleri şuna indirgenir:

alan gücü tensöründe bir elektromanyetik dalga denklemidir .

Lorenz ölçeğinde Maxwell denklemleri

Lorenz göstergesi durumu bir Lorentz-değişmez göstergesi durumdur. (Bu , Coulomb göstergesi gibi diğer gösterge koşullarıyla karşılaştırılabilir; bu, bir eylemsizlik çerçevesinde tutarsa , genellikle başka bir çerçeve içinde tutmaz.) Dört-potansiyel açısından aşağıdaki gibi ifade edilir:

Lorenz ölçeğinde, mikroskobik Maxwell denklemleri şu şekilde yazılabilir:

Lorentz kuvveti

yüklü parçacık

Lorentz kuvveti f , bir ile yüklü parçacık (arasında yük q hareket) (anlık hız v ). D alanı ve B alanı mekan ve zaman içinde değişir.

Elektromanyetik (EM) alanlar, elektrik yüklü maddenin hareketini etkiler : Lorentz kuvveti nedeniyle . Bu şekilde, EM alanları tespit edilebilir ( parçacık fiziğindeki uygulamalar ve aurora gibi doğal oluşumlar ile ). Göreli formda, Lorentz kuvveti alan kuvveti tensörünü aşağıdaki gibi kullanır.

Koordinat zamanı t cinsinden ifade edildiğinde :

burada p α dört momentum, q ise yük ve X β pozisyondur.

Çerçeveden bağımsız biçimde ifade edildiğinde, dört-kuvvete sahibiz.

burada u β dört hızdır ve τ parçacığın koordinat zamanı ile dt = γdτ ile ilişkili olan uygun zamanıdır .

Şarj sürekliliği

Hareket halindeki sürekli yük dağılımında ( yük yoğunluğu ρ) uzaysal hacim f başına Lorentz kuvveti .

Uzamsal kısmı Lorentz kuvveti olan elektromanyetizmadan kaynaklanan kuvvet yoğunluğu şu şekilde verilir:

ve elektromanyetik stres-enerji tensörü ile ilgilidir.

koruma yasaları

Elektrik şarjı

Süreklilik denklemi :

yük korunumunu ifade eder .

Elektromanyetik enerji-momentum

Maxwell denklemlerini kullanarak, elektromanyetik stres-enerji tensörünün (yukarıda tanımlanmıştır) aşağıdaki diferansiyel denklemi karşıladığını görebilir, onu elektromanyetik tensör ve mevcut dört-vektör ile ilişkilendirir.

veya

elektromanyetik etkileşimlerle doğrusal momentum ve enerjinin korunumunu ifade eder.

Maddedeki kovaryant nesneler

Serbest ve bağlı dört akım

Burada verilen elektromanyetizma denklemlerini çözmek için, elektrik akımının nasıl hesaplanacağı hakkında bilgi eklemek gerekir, J ν Sıklıkla, akımı serbest akım ve bağlı akım olmak üzere iki kısma ayırmak uygundur. farklı denklemlerle modellenmiş;

nerede

Maxwell'in makroskopik denklemleri , elektriksel yer değiştirme D ve manyetik yoğunluk H tanımlarına ek olarak kullanılmıştır :

burada M bir mıknatıslanma ve p elektrik kutuplaşma .

Manyetizasyon-polarizasyon tensörü

Bağlı akım, antisimetrik bir zıt değişkenli manyetizasyon-polarizasyon tensörü oluşturan P ve M alanlarından türetilir.

bağlı akımı belirleyen

Elektrikli yer değiştirme tensörü

Bu F μν ile birleştirilirse, D ve H alanlarını aşağıdaki gibi birleştiren antisimetrik zıt değişkenli elektromanyetik yer değiştirme tensörünü elde ederiz :

Üç alan tensörü şu şekilde ilişkilidir:

bu, yukarıda verilen D ve H alanlarının tanımlarına eşdeğerdir .

Maddedeki Maxwell denklemleri

Sonuç, Ampère yasasıdır ,

,

ve Gauss yasası ,

,

tek bir denklemde birleştirin:

GaussAmper yasası (madde)

Yukarıda tanımlandığı gibi bağlı akım ve serbest akım otomatik olarak ve ayrı ayrı korunur

kurucu denklemler

Vakum

Boşlukta, alan tensörü ve yer değiştirme tensörü arasındaki kurucu ilişkiler şunlardır:

Antisimetri, bu 16 denklemi sadece altı bağımsız denkleme indirger. Çünkü F μν'u şu şekilde tanımlamak olağandır :

kurucu denklemler, vakumda , Gauss-Amper yasası ile birleştirilebilir ve şu sonuca varılır:

Yer değiştirme açısından elektromanyetik stres-enerji tensörü:

burada ö a tt olan Kronecker'in ö . Üst indeks η ile düşürüldüğünde simetrik hale gelir ve yerçekimi alanının kaynağının bir parçasıdır.

Doğrusal, dağılmayan madde

Böylece akım modelleme sorununu azalttı, J v iki (umutla) daha kolay sorunlarına - serbest akım, modelleme J ν serbest ve mıknatıslanma ve kutuplaşmasını modelleyen, . Örneğin, düşük frekanslardaki en basit malzemelerde,

Bir maddenin anlık Comoving eylemsiz çerçevede olduğu, σ onun bir elektriksel iletkenlik , χ e onun bir elektrik duyarlılık ve χ m, onun bir manyetik duyarlılık .

Arasındaki kurucu ilişkiler ve F tarafından önerilen tansörler, Minkowski'yle doğrusal malzemeler için (olup, E bir orantılı için D ve B için orantılı H ), şunlardır:

burada u malzemenin dört hızıdır, ε ve μ sırasıyla malzemenin uygun geçirgenliği ve geçirgenliğidir (yani malzemenin geri kalan çerçevesinde) ve Hodge ikilisini belirtir .

Klasik elektrodinamik için Lagrange

Vakum

Lagrange alan bileşeni ve bir kaynak bileşeni: Klasik elektrodinamik için yoğunluk iki bileşenden oluşmaktadır:

Etkileşim teriminde, dört-akım, diğer yüklü alanların elektrik akımlarını değişkenleri açısından ifade eden birçok terimin kısaltması olarak anlaşılmalıdır; dört akımın kendisi temel bir alan değildir.

Lagrange denklemleri elektromanyetik lagrange yoğunluğu için aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

not etme

,
ve

köşeli parantez içindeki ifade

İkinci terim

Bu nedenle, elektromanyetik alanın hareket denklemleri

bu, yukarıdaki Gauss-Amper denklemidir.

Önemli olmak

Serbest akımları bağlı akımlardan ayırarak, Lagrange yoğunluğunu yazmanın başka bir yolu aşağıdaki gibidir:

Lagrange denklemi kullanılarak hareket denklemleri türetilebilir.

Göreli olmayan vektör gösterimindeki eşdeğer ifade şudur:

Ayrıca bakınız

Notlar ve referanslar

daha fazla okuma