çelişki - Contradiction

Gelen geleneksel mantık , bir çelişki , bir oluşur önerme kendisi veya kurulmuş olan ya çelişen aslında . Genellikle samimiyetsiz inançları ve önyargıları tespit etmek için bir araç olarak kullanılır . Uygulamalı mantıkta genel eğilimi gösteren Aristoteles'in 'ın Çelişmeme hukuk devletleri 'Bu imkansız olduğunu aittir ve aynı nesneye aittir ve aynı açıdan her ikisi de aynı anda aynı şeyi yapabilir.' Diye

Modern biçimsel mantık ve tip teorisinde , bu terim çoğunlukla falsum sembolü ile gösterilen tek bir önerme için kullanılır ; Bir önerme, mantık kuralları kullanılarak ondan yanlış türetilebilirse bir çelişkidir . Koşulsuz olarak yanlış olan bir önermedir (yani, kendisiyle çelişen bir önerme). Bu, daha sonra bir çelişki "içerdiği" söylenen bir önermeler koleksiyonuna genelleştirilebilir. ${\görüntüleme stili\bot }$

Tarih

Bir oluşturulması ile paradoksu , Plato bireyin Euthydemos diyalog kavramı ihtiyacını ortaya koymaktadır çelişki . Devam eden diyalogda, Dionysodorus , Sokrates'in kendisiyle çeliştiği halde, "çelişki"nin varlığını reddeder :

... Şaşkınlık içinde dedim ki: Dionysodorus ne demek? Protagoras'ın müritleri ve onlardan öncekiler tarafından sürdürülen ve kullanılan ve bana oldukça harika ve intihara meyilli olduğu kadar yıkıcı görünen bu tezinizi sık sık duydum ve duyduğuma şaşırdım. Sanırım bu konudaki gerçeği senden duyma ihtimalim daha yüksek. Söz, yalan diye bir şey olmadığıdır; bir adam ya doğruyu söylemeli ya da hiçbir şey söylememelidir. Bu senin pozisyonun değil mi?

Nitekim Dionysodorus, "yanlış görüş diye bir şey yoktur... cehalet diye bir şey yoktur" konusunda hemfikirdir ve Sokrates'ten "Beni reddetmesini" ister. Sokrates, "Ama dediğiniz gibi, bir yalanı söylemek olanaksızsa, sizi nasıl çürütebilirim?" diye yanıtlar.

biçimsel mantıkta

Klasik Mantık, özellikle de içinde önermeler ve birinci derece mantık , bir önerme bir çelişki olduğunu ancak ve ancak . Çelişki için, herkes için (çünkü ) doğru olduğundan , çelişkiler içeren bir aksiyom kümesinden herhangi bir önerme kanıtlanabilir. Buna " patlama ilkesi " veya "ex falso quodlibet" ("yanlışlıktan, her şey gelir") denir. ${\görüntüleme stili \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \vdash \bot }$${\görüntüleme stili \varphi }$${\displaystyle \vdash \varphi \rightarrow \psi }$${\görüntüleme stili\psi }$${\ Displaystyle \ bot \ vdash \ psi }$

Bir de tam mantık, bir formül olduğunu ancak ve ancak çelişkili olduğunu kabul edilemezdir .

çelişkili kanıt

Tutarlı tesislerinde bir dizi için ve bir önerme , içeri doğrudur klasik mantık olduğunu (yani kanıtlıyor ) ancak ve ancak (yani ve bir çelişkiye yol açar). Bu nedenle, mülk altında doğru olduğunu da kanıtlayan bir kanıt . Bu gerçeğin kullanımı, matematikçilerin çok çeşitli teoremlerin geçerliliğini sağlamak için yaygın olarak kullandıkları, çelişkiyle ispat adı verilen ispat tekniğinin temelini oluşturur. Bu, yalnızca dışlanan orta yasasının bir aksiyom olarak kabul edildiği bir mantıkta geçerlidir . ${\görüntüleme stili \Sigma }$${\görüntüleme stili \varphi }$${\displaystyle \Sigma \vdash \varphi }$${\görüntüleme stili \Sigma }$${\görüntüleme stili \varphi }$${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$${\görüntüleme stili \Sigma }$${\displaystyle \neg \varphi }$${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili \Sigma }$ ${\ Displaystyle A\vee \neg A}$

Minimal mantığı kullanarak , klasik mantığa benzer aksiyomları olan ancak ex falso quodlibet ve çelişki ile ispatı olmayan bir mantık, minimal mantığın teoremleri olmayan klasik mantığın teoremlerini dikkate alarak çelişkiyi ele alan çeşitli kuralların aksiyomatik gücünü ve özelliklerini araştırabiliriz. Bu uzantıların her biri bir ara mantığa yol açar :

1. Çift olumsuzlamalı eleme (DNE), aksiyomlaştırılmış en güçlü ilkedir ve minimal mantığa eklendiğinde klasik mantık verir.${\displaystyle \neg \neg A\ima eder A}$
2. Ex falso quodlibet (EFQ), aksiyomlaştırılmış , olumsuzlamaların birçok sonucunu onaylar , ancak tipik olarak, absürtlük içermeyen önermelerin, içeren tutarlı önermelerden çıkarılmasına yardımcı olmaz. Minimum mantığa eklendiğinde, EFQ sezgisel mantık verir . EFQ, minimum mantık üzerinden aksiyomlaştırılmış , eski çelişkili quodlibet'e eşdeğerdir .${\ Displaystyle \ bot \ A ima eder}$${\displaystyle A\land \neg A\B'yi ima eder}$
3. Peirce kuralı (PR), açıkça saçmalığa atıfta bulunmadan, çelişki yoluyla kanıtı yakalayan bir aksiyomdur. Minimal mantık + PR + EFQ klasik mantığı verir.${\görüntüleme stili ((A\B'yi ima eder)\A'yı ima eder)\A'yı ima eder}$
4. En basit okuması doğruluk değerleri üzerinde doğrusal bir düzen olduğu olan Gödel-Dummett (GD) aksiyomu . Minimal mantık + GD, Gödel-Dummett mantığını verir . Peirce'ın kuralı, minimum mantık üzerinden GD tarafından zorunlu kılınır, ancak zorunlu tutulmaz.${\displaystyle A\implies B\vee B\implies A}$
5. Aksiyomatikleştirilmiş dışlanan orta (LEM) yasası, iki değerlik ilkesinin en sık alıntılanan formülasyonudur , ancak EFQ'nun yokluğunda tam klasik mantık sağlamaz. Minimal mantık + LEM + EFQ klasik mantığı verir. Halkla ilişkiler, minimum mantıkta LEM'i gerektirir, ancak gerektirmez. Peirce kuralındaki B formülü, aksiyom şemasını vererek saçmalıkla sınırlıysa, şema minimum mantık üzerinden LEM'e eşdeğerdir.${\ Displaystyle A\vee \neg A}$${\displaystyle (\neg A\implies A)\implies A}$
6. Dışlanan ortanın zayıf yasası (WLEM) aksiyomlaştırılır ve ayırmanın sezgisel mantıktan çok klasik mantıkta olduğu gibi davrandığı, yani ayırma ve varoluş özelliklerinin geçerli olmadığı, ancak sezgisel olmayan akıl yürütmenin kullanımının olaylarla işaretlendiği bir sistem verir. sonuçta çifte olumsuzlama. LEM, minimum mantıkta WLEM tarafından dahil edilir ancak gerekli değildir. WLEM, olumsuzlamayı bağlaç üzerine dağıtan De Morgan yasasının örneğine eşdeğerdir : .${\displaystyle \neg A\vee \neg \neg A}$${\displaystyle \neg (A\land B)\iff A\vee B}$

Sembolik temsil

Matematikte, bir ispat içindeki bir çelişkiyi temsil etmek için kullanılan sembol değişir. Bir çelişkiyi temsil etmek için kullanılabilecek bazı semboller şunlardır: ↯, Opq, , ⊥, / , ve ※; herhangi bir sembolizmde, " yanlış " doğruluk değeri yerine , örneğin "0" ile sembolize edildiği gibi bir çelişki ikame edilebilir ( boolean cebirinde yaygın olduğu gibi ). Bir çelişki sembolünden hemen sonra QED'yi veya bazı türevlerini görmek nadir değildir . Aslında, bu genellikle, orijinal varsayımın yanlış olduğunun kanıtlandığını ve dolayısıyla olumsuzlamasının doğru olması gerektiğini belirtmek için çelişkili bir kanıtta ortaya çıkar. ${\ Displaystyle \ Sağ Ok \ Sol Ok }$${\görüntüleme stili \sol sağ ok \\!\!\!\!\!\!\!}$

Bir aksiyomatik sistemdeki çelişki kavramı ve tutarlılığının bir kanıtı

Genel olarak, bir tutarlılık kanıtı aşağıdaki iki şeyi gerektirir:

1. bir aksiyomatik sistem
2. Bu olduğu bir gösteri olup , formül hem bu durumda p ve tersi ~ p sisteminde türetilebilir.

Herhangi bir yöntemi kimse bu konuda gider tarafından Ancak, tüm tutarlılık deliller olacağını görünüyor ilkel kavramını gerektirecek kadar çelişki. Üstelik, sanki bu nosyon aynı zamanda totolojinin tanımındaki biçimsel sistemin "dışında" olmak zorundaymış gibi görünüyor .

Ne zaman Emil Mesaj , onun 1921 "İlköğretim Önermelerin Genel Teorisine Giriş" bölümünde, tutarlılık onun kanıtı uzatıldı önermeler mantığı çok ötesinde (yani mantık) Principia Mathematica (PM), o bir bakımından görülmektedir jeneralize bir dizi varsayım (yani aksiyom), artık "çelişki" kavramını otomatik olarak çağıramayacaktır - böyle bir kavram varsayımlarda bulunmayabilir:

Bir dizi önermenin temel koşulu, tutarlı olmasıdır. Sıradan tutarlılık kavramı, yine olumsuzlamayı içeren çelişki kavramını içerdiğinden ve bu işlev [ genelleştirilmiş önermeler kümesinde] genel olarak ilkel olarak görünmediğinden, yeni bir tanım verilmelidir.

Post'un soruna çözümü, Ernest Nagel ve James R. Newman tarafından 1958 Gödel'in Kanıtı'nda sunulan "Bir Başarılı Mutlak Tutarlılık Kanıtı Örneği" gösterisinde anlatılmaktadır . Onlar da "doğruluk" ve "yanlışlık" gibi olağan "doğruluk değerleri" ile "çelişki" kavramına ilişkin bir sorun gözlemlediler. Şunu gözlemlediler:

Bir totoloji olma özelliği, doğruluk ve yanlışlık kavramlarında tanımlanmıştır. Yine de bu kavramlar açıkça formül hesabının dışındaki bir şeye referans içerir . Bu nedenle, yürürlükteki metinde bahsedilen prosedür , sistem için bir model sağlayarak hesabın bir yorumunu sunar . Durum böyleyken, yazarlar vaat ettikleri şeyi, yani " formüllerin bir özelliğini, formüllerin kendilerinin salt yapısal özellikleri açısından tanımlamak " ı yapmamışlardır . [Gerçekten] ... modellere dayanan ve aksiyomların doğruluğundan tutarlılıklarına kadar tartışan tutarlılık kanıtları, sadece sorunu değiştirir.

PM'nin ilkelleri S ₁ VS ₂ [VEYA dahil] ve ~S (olumsuzlama) gibi bazı "ilkel formüller" verildiğinde , kişi aksiyomları bu ilkel kavramlara göre tanımlamaya zorlanır. Post, PM'de kapsamlı bir şekilde gösterir ve (Nagel ve Newman'ın yaptığı gibi, aşağıya bakınız) totolog özelliğinin - henüz tanımlanmamıştır - "kalıtsal" olduğunu tanımlar: ) ve ikame ve modus ponens içeren bir kesinti sistemi varsa , tutarlı bir sistem yalnızca totolog formüller verecektir.

Totolog tanımı konusunda , Nagel ve Newman birbirini dışlayan ve kapsamlı iki sınıf oluşturur K ₁ ve K ₂ , değişkenleri (örneğin S ₁ ve S ₂ bu sınıflardan atandığında aksiyomların (sonucunun) içine düştüğü) ). Bu aynı zamanda ilkel formüller için de geçerlidir. Örneğin, "biçimine sahip bir formül S ₁ VS ₂ sınıf K yerleştirilir ₂ her ikisi de S ise, ₁ S ₂ K olan ₂ , aksi takdirde K yerleştirilir ₁ formu n-S olan bir formül" ve" S K _1'de ise K _2'ye , aksi takdirde K _1'e yerleştirilir .

Bu nedenle Nagel ve Newman hemen kavramını tanımlayabilir tautologous : "bir formül ve sınıf K düşen tek eğer bir totolojidir ₁ olursa olsun, iki sınıfın olan unsurları yerleştirilir". Bu şekilde, "totolog olma" özelliği - bir modele veya yoruma atıfta bulunulmadan - açıklanır.

Örneğin, ~S ₁ VS ₂ gibi bir formül ve K ₁ ila S ₁ ve K ₂ ila S ₂ ataması verildiğinde, formülü değerlendirebilir ve sonucunu sınıflardan birine veya diğerine yerleştirebilir. K _1'in S _1'e atanması ~S _1'i K _{2'ye yerleştirir} ve şimdi atamamızın formülün K ₂ sınıfına girmesine neden olduğunu görebiliriz . Dolayısıyla tanım gereği formülümüz bir totoloji değildir.

Post, sistem tutarsız olsaydı, sistemdeki bir kesintinin (yani, totolojilerden türetilen bir formül dizisindeki son formül) nihayetinde S'nin kendisini verebileceğini gözlemledi. Değişken S atama iki sınıf K gelebilir olarak ₁ veya K ₂ , kesinti totolojinin kalıtım özelliği (yani, türetme sınıfı K içine düşecek bir formül bir değerlendirme verim gerekir ihlal ₁ ). Bundan Post, çelişki kavramını kullanmadan , aşağıdaki tutarsızlık tanımını elde edebildi :

Tanım. Değiştirilmemiş değişken p [Newman ve Nagel örneklerinde S] iddiasını veriyorsa, bir sistemin tutarsız olduğu söylenecektir.

Başka bir deyişle, bir tutarlılık kanıtı oluşturulurken "çelişki" kavramından vazgeçilebilir; onun yerini alan, "birbirini dışlayan ve kapsamlı" sınıflar kavramıdır. Bir aksiyomatik sistemin "çelişki" kavramını içermesi gerekmez.

Felsefe

Epistemolojik tutarlılık teorisinin taraftarları, tipik olarak, bir inancın gerekçelendirilmesinin gerekli bir koşulu olarak , bu inancın mantıksal olarak çelişkili olmayan bir inanç sisteminin bir parçası olması gerektiğini iddia eder. Graham Priest dahil bazı diyaleteistler , tutarlılığın tutarlılık gerektirmeyebileceğini savundular.

Pragmatik çelişkiler

Argümanın ifadesi, iddia ettiği iddialarla çeliştiğinde pragmatik bir çelişki ortaya çıkar. Bu durumda bir tutarsızlık ortaya çıkar, çünkü söylenen şeyin içeriğinden ziyade sözce edimi onun sonucunu baltalar.

Diyalektik materyalizm

Gelen diyalektik materyalizm : çelişki-olarak türetilmiş hegelcilik -genellikle doğal bir bölge, tek bir birleşik kuvvet veya nesne içinde mevcut bir muhalif belirtmektedir. Bu çelişki, metafizik düşüncenin aksine, nesnel olarak imkansız bir şey değildir, çünkü bu çelişen güçler nesnel gerçeklikte var olurlar, birbirlerini iptal etmezler, aslında birbirlerinin varlığını tanımlarlar. Marksist teoriye göre, böyle bir çelişki örneğin şu durumlarda bulunabilir:

• (a) muazzam zenginlik ve üretken güçler aşağıdakilerin yanında bir arada bulunur:
• (b) aşırı yoksulluk ve sefalet;
• (c) (a)'nın varlığının (b)'nin varlığına aykırı olması.

Hegelci ve Marksist teori , tarihin diyalektik doğasının , çelişkilerinin ortadan kaldırılmasına veya sentezine yol açacağını şart koşar . Marx bu nedenle tarih mantıksal hale olacağına inanılmaktadır kapitalizm bir dönüşmeye sosyalist toplumun üretim araçları eşit hizmet verecek istismar ve acı sınıfını dolayısıyla (a) ve (b) arasındaki önceden çelişkiyi çözme, toplumun.

Mao Zedong'un Çelişki Üzerine (1937) felsefi denemesi , Marx ve Lenin'in tezini ilerletti ve tüm varoluşun çelişkinin sonucu olduğunu öne sürdü.

Biçimsel mantığın dışında

Konuşma dili kullanımı , mantıksal anlamda çelişkili olan varsayımlardan dolayı (veya nedeniyle algılandığında) eylemleri veya ifadeleri birbiriyle çelişiyor olarak etiketleyebilir .

Çelişkiyle ispat , matematikte ispat oluşturmak için kullanılır .

Bilimsel yöntem kullandığı kötü teoriyi tahrif çelişki.

Ayrıca bakınız

• Argüman Kliniği  - Monty Python taslağı, iki tartışmacıdan birinin argümanında tekrar tekrar sadece çelişkileri kullandığı bir Monty Python taslağı
• Otomatik  zıt - iki zıt anlamı olan kelime
• aksine (mantık)
• Diyaleteizm - Hem doğru hem de yanlış olan ifadeler olduğunu görün
• Çifte standart  – İlkelerin tutarsız uygulanması
• Doublethink  – Birbiriyle çelişen iki inancı aynı anda doğru kabul etmek
• Graham'ın anlaşmazlık hiyerarşisi
• İroni  - Gerçek ve ima edilen anlam arasında bir uyumsuzluğun olduğu retorik araç, edebi teknik veya durum
• çelişmezlik yasası
• Çelişki  Üzerine - Mao Zedong'un 1937 Maocu makalesi
• Oksimoron  - retorik bir noktayı göstermek veya bir paradoksu ortaya çıkarmak için görünürde kendi kendisiyle çelişmeyi gerektiren konuşma şekli
• tutarsız mantık
• Paradoks  - Görünüşte kendisiyle çelişen ifade
• Totoloji  – Her olası yorumda doğru olan mantıksal formül
• TRIZ  – Problem çözme araçları

Notlar ve referanslar

bibliyografya

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic , Fransızca ve Almanca baskılardan Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, Güney Hollanda tarafından çevrildi.
• Jean van Heijenoort 1967 Frege'den Gödel'e : Matematiksel Mantık 1879-1931'de Bir Kaynak Kitap , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN  0-674-32449-8 (pbk.)
• Ernest Nagel ve James R. Newman 1958 Gödel'in Kanıtı , New York University Press, Kart Katalog Numarası: 58-5610.

Dış bağlantılar

• "Çelişki (tutarsızlık)" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• "Çelişki, kanunu" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Horn, Laurence R. "Çelişki" . Gelen Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Felsefe Ansiklopedisi .