Sınıf oluşumu - Class formation

Matematikte sınıf oluşumu , belirli koşulları sağlayan bir modül üzerinde hareket eden topolojik bir gruptur . Sınıf alan teorisinde ortaya çıkan çeşitli Galois gruplarını ve modüllerini düzenlemek için sınıf oluşumları Emil Artin ve John Tate tarafından tanıtıldı .

Tanımlar

Bir oluşum , G'nin sürekli olarak etki ettiği bir topolojik G- modülü A ile birlikte bir topolojik grup G'dir .

Bir tabaka, E / K bir formasyonun açık bir alt grubunun bir çift E , F ve G gibi olduğu F sonlu göstergesi alt grubudur , E . Bu adlandırılır normal bir katman halinde F normal bir alt-grubu olan E ve siklik tabaka ek olarak bölüm grubu siklik ise. Eğer D bir alt grubudur , G , daha sonra bir D elemanları olarak tanımlanır A sabit E . Biz yazarız

H n ( E / F )

için Tate cohomoloji grubu , H , n ( E / K , bir F zaman) e / F normal bir katmandır. (Bazı yazarlar E ve F'yi G'nin alt grubu yerine sabit alanlar olarak düşünürler , bu nedenle E / F yerine F / E yazın .) Uygulamalarda, G genellikle bir alanın mutlak Galois grubudur ve özellikle kesindir ve dolayısıyla açık alt gruplar, bazı sabit ayrılabilir kapamalarda bulunan alanın sonlu uzantılarına karşılık gelir.

Bir sınıf oluşumu , her normal katman için E / F olacak şekilde bir oluşumdur.

H 1 ( E / F ) önemsizdir ve
H 2 ( E / F ) mertebe çevrimidir | E / F |.

Uygulamada, bu döngüsel gruplar , temel sınıflar olarak adlandırılan ve temel bir sınıfın (kohomoloji sınıflarının) kısıtlamasının (kohomoloji sınıflarının) kısıtlanması anlamında birbiriyle uyumlu olan kanonik üreteçler u E / FH 2 ( E / F ) ile sağlanır. başka bir temel sınıf. Genellikle temel sınıflar, bir sınıf oluşumunun yapısının parçası olarak kabul edilir.

Tatmin sadece durum olduğu bir oluşum , H 1 ( E / F ) 1 = bazen adlandırılan alan oluşumu . Örneğin, G , bir L ve A=L × alanı üzerinde hareket eden herhangi bir sonlu grup ise , bu, Hilbert teoremi 90'a göre bir alan oluşumudur .

Örnekler

Sınıf oluşumlarının (kabaca zorluk sırasına göre düzenlenmiş) en önemli örnekleri aşağıdaki gibidir:

  • Arşimet yerel sınıf alan teorisi : Modül A , sıfır olmayan karmaşık sayıların grubudur ve G , ya önemsizdir ya da karmaşık konjugasyon tarafından üretilen 2. dereceden döngüsel gruptur.
  • Sonlu alanlar: Modül A tamsayılardır (önemsiz G eylemi ile) ve G , tamsayıların kesin tamamlanmasına eşbiçimli olan sonlu bir alanın mutlak Galois grubudur.
  • p >0 özelliğinin yerel sınıf alan teorisi : Modül A , formal Laurent serisi alanının sonlu bir alan üzerindeki ayrılabilir cebirsel kapanışıdır ve G , Galois grubudur.
  • Karakteristik 0'ın Arşimet olmayan yerel sınıf alan teorisi: Modül A , bir p -adik sayı alanının cebirsel kapanışıdır ve G , Galois grubudur.
  • p >0 karakteristiğinin global sınıf alan teorisi : Modül A , sonlu bir alan üzerindeki bazı fonksiyon alanlarının ayrılabilir sonlu uzantılarının idele sınıflarının gruplarının birleşimidir ve G , Galois grubudur.
  • Karakteristik 0'ın global sınıf alan teorisi: Modül A , cebirsel sayı alanlarının idele sınıflarının gruplarının birleşimidir ve G , A üzerine etki eden rasyonel sayıların (veya bazı cebirsel sayı alanlarının) Galois grubudur .

Sonlu alan durumu ve Arşimet yerel alan durumu için sınıf oluşum özelliğini doğrulamak kolaydır, ancak kalan durumlar daha zordur. Sınıf alanı teorisinin sıkı çalışmasının çoğu, bunların gerçekten sınıf oluşumları olduğunu kanıtlamaktan ibarettir. Bu, aşağıdaki bölümlerde açıklandığı gibi birkaç adımda yapılır.

ilk eşitsizlik

Birinci eşitsizlik sınıf alan teorisi belirtiyor

| H 0 ( E / F )| ≥ | E / F |

döngüsel katmanlar için E / F . Genellikle Herbrand bölümünün özellikleri kullanılarak daha kesin biçimde kanıtlanır.

| H 0 ( E / F )| = | E / F |×| H 1 ( E / F )|.

Kanıtlaması oldukça basittir, çünkü Herbrand katsayısı, kısa kesin dizilerde çarpımsal olduğundan ve sonlu modüller için 1 olduğundan, çalışması kolaydır.

1950'den önce, birinci eşitsizlik ikinci eşitsizlik olarak biliniyordu ve bunun tersi de geçerliydi.

ikinci eşitsizlik

Sınıf alanı teorisinin ikinci eşitsizliği şunu belirtir:

| H 0 ( E / F )| ≤ | E / F |

tüm normal katmanlar için E / F .

Yerel alanlar için, bu eşitsizlik Hilbert'in 90 teoreminden birinci eşitsizlik ve grup kohomolojisinin bazı temel özellikleri ile birlikte kolayca çıkar .

İkinci eşitsizlik ilk olarak Weber tarafından L serisi sayı alanlarının özelliklerini kullanarak aşağıdaki gibi global alanlar için kanıtlanmıştır. E / F katmanının global alanların bir kK uzantısına karşılık geldiğini varsayalım . İnceleyerek Dedekind zeta fonksiyonu arasında K 1 asal derece olduğu bir gösterir K sahip Dirichlet yoğunluğu kutupta sırasına göre verilen s olduğunda 1 (= 1 şeklinde, K kesirli olup, bu vardır esas Euler kanıtıdır en kutup kullanarak sonsuz sayıda asal s arasında = 1 Riemann zeta fonksiyonu . her astar olarak) k bir norm ° (ürünüdür K / K ) = | E / F | K'nin derece 1 asal sayıları farklıysa , bu, k'nin normlar olan asal kümelerinin yoğunluğunun 1/| E / F |. Öte yandan, H 0 ( E / F ) grubunun Dirichlet L-serisi karakterlerini inceleyerek , bu grubun önemsiz öğesini temsil eden k asallarının Dirichlet yoğunluğunun 1/| H 0 ( E / F )|. (İspatın bu kısmı, Dirichlet'in aritmetik ilerlemelerde sonsuz sayıda asal sayı olduğuna dair ispatının bir genellemesidir.) Ancak bir asal , bir norm modulo asal ideallere eşitse, H 0 ( E / F ) grubunun önemsiz bir öğesini temsil eder. , bu nedenle bu küme en az normlar olan asal sayılar kümesi kadar yoğundur. Yani

1/| H 0 ( E / F )| ≥ 1/| E / F |

ki bu ikinci eşitsizliktir.

1940'ta Chevalley , ikinci eşitsizliğin tamamen cebirsel bir kanıtını buldu, ancak Weber'in orijinal kanıtından daha uzun ve daha zor. 1950'den önce, ikinci eşitsizlik birinci eşitsizlik olarak biliniyordu; isim değiştirildi çünkü Chevalley'nin cebirsel kanıtı birinci eşitsizliği kullanıyor.

Takagi , ikinci eşitsizlikte eşitliğin geçerli olduğu bir sınıf alanı tanımladı . Aşağıdaki Artin isomorphism olarak, H 0 ( E / F ) arasında abelianization izomorf D / F ikinci eşitsizlik eşitlik değişmeli uzantıları tam olarak tutar ve sınıf alanları değişmeli uzantıları ile aynıdır, böylece.

Birinci ve ikinci eşitsizlikler aşağıdaki gibi birleştirilebilir. Döngüsel katmanlar için, iki eşitsizlik birlikte şunu kanıtlıyor:

H 1 ( E / F )| E / F | = H 0 ( E / F ) ≤ | E / F |

Bu yüzden

H 0 ( E / F ) = | E / F |

ve

H 1 ( E / F ) = 1.

Şimdi kohomoloji gruplarıyla ilgili temel bir teorem , tüm döngüsel katmanlar için H 1 ( E / F ) = 1 olduğundan, elimizde

H 1 ( E / F ) = 1

için tüm normal bir katman (çok özellikle oluşumu alan oluşumu). Bu Bu kanıt , H 1 ( E / F ) her zaman önemsiz dolambaçlı ziyade; küresel alanlar için bunun "doğrudan" bir kanıtı (bu ne anlama geliyorsa) bilinmemektedir. (Yerel alanlar için H 1'in ( E / F ) kaybolması sadece Hilbert teoremi 90'dır.)

Siklik grup için, lH 0 ile aynıdır , H 2 nedenle, H 2 ( E / F |) = E / F | tüm döngüsel katmanlar için. Grup kohomolojisinin başka bir teoremi, tüm normal katmanlar için H 1 ( E / F ) = 1 olduğundan ve H 2 ( E / F ) ≤ | E / F | tüm döngüsel katmanlar için

H 2 ( E / F )≤ | E / F |

tüm normal katmanlar için. (Aslında eşitlik tüm normal katmanlar için geçerlidir, ancak bu daha fazla iş gerektirir; sonraki bölüme bakın.)

Brauer grubu

Brauer grupları , H 2 ( e / *), bir sınıf oluşumu grubun doğrudan sınır olarak tanımlanmaktadır , H 2 ( E / F gibi) F açık olan tüm altgruplar üzerine çalışan E . Ufuk arasında kolay bir sonucu H 1 tüm tabakalar için grupları olmasıdır H 2 ( E / F ) hepsi alt grupları Brauer grubunun. Yerel sınıf alan teorisi olarak Brauer grupları aynıdır Brauer gruplarının alanların, ancak (onlar ilişkili olsa da) küresel sınıf alan teorisi oluşum Brauer grup karşılık gelen küresel alanın Brauer grup değil.

Sonraki adım, H 2'nin ( E / F ) tam olarak mertebeden döngüsel olduğunu kanıtlamaktır | E / F |; önceki bölüm en fazla bu sıraya sahip olduğunu gösteriyor, bu nedenle bazı düzen öğelerini bulmak yeterli | E / F | içerisinde , H 2 ( E / F ).

Rastgele uzantıların ispatı, G çekirdeği ile tamsayıların kesin olarak tamamlanması üzerine G grubundan bir homomorfizm kullanır , ya da başka bir deyişle , G n çekirdekleri ile tüm n için n mertebesindeki döngüsel gruplar üzerine G'nin uyumlu bir homomorfizma dizisi kullanır. . Bu homomorfizmalar, alanların döngüsel siklotomik uzantıları kullanılarak oluşturulur; sonlu alanlar için cebirsel kapanış tarafından verilirler, arşimet olmayan yerel alanlar için maksimal dallanmamış uzantılar tarafından verilirler ve küresel alanlar için biraz daha karmaşıktırlar. Bu uzantılar açıkça verildiğinden , bir kanonik üreteç ile H 2 ( G / G n ) 'nin n mertebesinde döngüsel olduğu özelliğine sahip oldukları kontrol edilebilir . Herhangi bir katman için bu izler E , Grup H 2 ( E / EG ) için kanonik izomorf S / Z . Birliğin köklerini kullanma fikri Chebotarev tarafından Chebotarev'in yoğunluk teoreminin ispatında tanıtıldı ve kısa bir süre sonra Artin tarafından karşılıklılık teoremini kanıtlamak için kullanıldı.

E , F genel katmanları için kesin bir sıra vardır

Bu dizideki son iki grubun her ikisi de Q / Z ile tanımlanabilir ve aralarındaki harita daha sonra | ile çarpılır. E / F |. Yani ilk grup kanonik olarak Z / n Z'ye göre izomorfiktir . Olarak , H 2 ( E / F ) en düzeni vardır Z / N , Z eşit olması gerekir , Z / N Z ) (ve özellikle de orta grubu içinde).

Bu Şekil, ikinci cohomoloji grubu olduğu , H 2 ( E / F | herhangi bir katmanın) sırayla siklik bir Bir sınıf oluşumunun aksiyomlarının doğrulanmasını tamamlayan E / F |. Kanıtlarda biraz daha dikkatli olursak , temel sınıf olarak adlandırılan H 2 ( E / F ) kanonik bir üretecini elde ederiz .

Brauer grubu bu izler , H 2 ( E / *) (kanonik) grubunu izomorf olan S / Z Arşimet yerel alanlar durumu hariç, R ve C sipariş 2 ya da 1 'olduğunda.

Tate teoremi ve Artin haritası

Grup kohomolojisinde Tate teoremi aşağıdaki gibidir. Varsayalım ki bir sonlu grup üzerinde bir modül G ve bir arasında bir elemandır , H 2 ( G , A ), bu şekilde her bir alt-grup için E arasında G

  • H 1 ( E , A ) önemsizdir ve
  • H 2 ( E , A ), E derecesine sahip Res(a) tarafından üretilir .

Daha sonra kap ürünü bir bir izomorfizm olan

  • H n ( G , Z ) → H n +2 ( G , A ).

Tate teoreminin n =−2 durumunu bir sınıf oluşumuna uygularsak , bir eşbiçimlilik olduğunu buluruz.

  • H -2 ( E / F , Z ) → H 0 ( E / F , A F )

herhangi bir normal katman E / F için . Grup H -2 ( E / K , Z ) sadece bir abelianization olan E / F ve grup lH 0 ( E / K , bir F ) olan bir E normlarına grubu modulo bir F . Başka bir deyişle, Galois grubu E / F'nin A E cinsinden abelianizasyonunun açık bir açıklamasına sahibiz .

Bu izomorfizmin tersini almak bir homomorfizm verir

A EE / F'nin abelianizasyonu ,

ve limiti tüm açık alt gruplar F üzerinden almak bir homomorfizm verir

Bir E hakkındaki → abelianization E ,

Artin haritası denir . Artin haritası mutlaka örtük değil, yoğun bir görüntüye sahip. Çekirdeğinin altındaki varlık teoremi ile, Arşimet olmayan yerel alanların sınıf alanı teorisi ve fonksiyon alanları için önemsiz olan, ancak Arşimet yerel alanları ve sayısı için önemsiz olan A E'nin (sınıf alan teorisi için) bağlı bileşenidir. alanlar.

Takagi varlık teoremi

Sınıf alanı teorisinin geriye kalan ana teoremi , idele sınıf grubunun her sonlu indeks kapalı alt grubunun, bir miktar değişmeli genişlemeye karşılık gelen normlar grubu olduğunu belirten Takagi varoluş teoremidir . Bunu kanıtlamanın klasik yolu, önce birliğin birçok kökünü ekleyerek ve ardından Kummer uzantılarını ve Artin-Schreier uzantılarını alarak küçük norm gruplarıyla bazı uzantılar oluşturmaktır . Bu uzantılar değişmeli olmayabilir (ancak değişmeli grupların değişmeli gruplara göre uzantıları olmalarına rağmen); ancak, değişmeli olmayan bir Galois uzantısının norm grubu, onun maksimal değişmeli uzantısının norm grubu ile aynı olduğundan, bu gerçekten önemli değildir (bu, sınıf alanları hakkında zaten bildiklerimiz kullanılarak gösterilebilir). Bu, idele sınıf grubunun herhangi bir sonlu dizin alt grubuna karşılık gelen bir değişmeli uzantı olduğunu göstermek için yeterli (değişen) uzantı verir.

Bir sonucu Artin haritanın çekirdek Galois grubunun abelianization böylece, idele sınıfı grubunun kimlik bağlı bileşeni olmasıdır F idele sınıfı grubunun profinite tamamlanmasıdır.

Yerel sınıf alan teorisi için, Lubin-Tate biçimsel grup yasalarını kullanarak değişmeli uzantıları daha açık bir şekilde oluşturmak da mümkündür . Global alanlar için, bazı durumlarda değişmeyen uzantılar açıkça oluşturulabilir: örneğin, rasyonellerin değişmeyen uzantıları birliğin kökleri kullanılarak oluşturulabilir ve ikinci dereceden sanal alanların değişmeyen uzantıları eliptik fonksiyonlar kullanılarak oluşturulabilir, ancak bir keyfi küresel alanlar için bunun analogu çözülmemiş bir sorundur.

Weil grubu

Bu bir Weyl grubu değildir ve Weil–Châtelet grubu veya Mordell–Weil grubu ile hiçbir bağlantısı yoktur.

Weil grubu temel sınıfları ile sınıf oluşumu U D / FH 2 ( E / K , bir F ) tarafından sunulan modifiye Galois grubunun, bir tür Weil (1951) , ve sınıf alan teorinin çeşitli formülasyonlarda kullanılan ve özellikle Langlands programında .

Eğer D / F normal tabaka, daha sonra Weil grubu U arasında D / F uzantısıdır

1 → A FUE / F → 1

temel sınıfına karşılık gelen U E / F olarak H 2 ( E / K , bir F ). Tüm oluşumun Weil grubu, tüm G / F katmanlarının Weil gruplarının ters sınırı olarak tanımlanır , F için G'nin açık bir alt grubu .

Sınıf oluşumu (karşılıklılık haritası GA ) 'dan bir izomorfizm indükleyen bir G Weil grubunun abelianization için.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Artin, Emil ; Tate, John (2009) [1952], Sınıf alanı teorisi , AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR  0223335
  • Kawada, Yukiyosi (1971), "Sınıf oluşumları", 1969 Sayı Teorisi Enstitüsü (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XX, State Univ. New York, Stony Brook, NY, 1969) , Providence, RI: American Mathematical Society , s. 96–114
  • Serre, Jean-Pierre (1979), Yerel alanlar , Matematikte Lisansüstü Metinler, 67 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90424-5, MR  0554237, esp. bölüm XI: Sınıf oluşumları
  • Tate, J. (1979), "Sayı teorik arka planı" , Otomorfik formlar, temsiller ve L-fonksiyonları Kısım 2 , Proc. Sempozyum. Pure Math., XXXIII , Providence, RI: Amer. Matematik. Soc., s. 3-26, ISBN 978-0-8218-1435-2
  • Weil, André (1951), "Sur la theorie du corps de class", Journal of the Mathematical Society of Japan , 3 : 1–35, doi : 10.2969/jmsj/00310001 , ISSN  0025-5645 , MR  0044569, topladığı makalelerin I. cildinde yeniden basılmıştır, ISBN  0-387-90330-5