0,01 ≤ x ≤ 100 için n = 0, 1, 2, 3, 4
Gelen matematik , Chebyshev rasyonel fonksiyonlar hem işlevler bir dizi olan rasyonel ve ortogonal . Pafnuty Chebyshev'in adını aldılar . N
R
n
(
x
)
=
d
e
f
T
n
(
x
-
1
x
+
1
)
{\ displaystyle R_ {n} (x) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ T_ {n} \ sol ({\ frac {x-1} {x + 1}} \ sağ) }
burada T n ( x ) Chebyshev polinomudur .
Özellikleri Birinci türden Chebyshev polinomlarının özelliklerinden birçok özellik türetilebilir. Diğer özellikler, işlevlerin kendilerine özgüdür.
Özyineleme
R
n
+
1
(
x
)
=
2
x
-
1
x
+
1
R
n
(
x
)
-
R
n
-
1
(
x
)
için
n
≥
1
{\ displaystyle R_ {n + 1} (x) = 2 \, {\ frac {x-1} {x + 1}} R_ {n} (x) -R_ {n-1} (x) \ quad { \ text {for}} n \ geq 1}
Diferansiyel denklemler
(
x
+
1
)
2
R
n
(
x
)
=
1
n
+
1
d
d
x
R
n
+
1
(
x
)
-
1
n
-
1
d
d
x
R
n
-
1
(
x
)
için
n
≥
2
{\ displaystyle (x + 1) ^ {2} R_ {n} (x) = {\ frac {1} {n + 1}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} } R_ {n + 1} (x) - {\ frac {1} {n-1}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} R_ {n-1} (x ) \ quad {\ text {for}} n \ geq 2}
(
x
+
1
)
2
x
d
2
d
x
2
R
n
(
x
)
+
(
3
x
+
1
)
(
x
+
1
)
2
d
d
x
R
n
(
x
)
+
n
2
R
n
(
x
)
=
0
{\ displaystyle (x + 1) ^ {2} x {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} R_ {n} (x) + {\ frac {(3x + 1) (x + 1)} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} R_ {n} (x) + n ^ {2} R_ {n} (x) = 0}
Ortogonalite
0.01 ≤ x ≤ 100 için yedinci dereceden ( n = 7 , n sıfır simetrik olarak düzenlenmiş x = 1 ve eğer X 0 sonra sıfır,
1 / x 0 aynı zamanda bir sıfırdır. Sıfırlar arasındaki maksimum değer birliktir. Bu özellikler tüm siparişler için geçerlidir.
Tanımlama:
ω
(
x
)
=
d
e
f
1
(
x
+
1
)
x
{\ displaystyle \ omega (x) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {1} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}}}
Chebyshev rasyonel işlevlerinin ortogonalliği yazılabilir:
∫
0
∞
R
m
(
x
)
R
n
(
x
)
ω
(
x
)
d
x
=
π
c
n
2
δ
n
m
{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} R_ {m} (x) \, R_ {n} (x) \, \ omega (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac { \ pi c_ {n}} {2}} \ delta _ {nm}}
burada n = 0 için c n = 2 n ≥ 1 için c n = 1 ; δ nm , Kronecker delta fonksiyonudur.
Keyfi bir fonksiyonun genişletilmesi Keyfi bir fonksiyon için f ( x ) ∈ L 2 ω f ( x ) '
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
F
n
R
n
(
x
)
{\ displaystyle f (x) = \ toplam _ {n = 0} ^ {\ infty} F_ {n} R_ {n} (x)}
nerede
F
n
=
2
c
n
π
∫
0
∞
f
(
x
)
R
n
(
x
)
ω
(
x
)
d
x
.
{\ displaystyle F_ {n} = {\ frac {2} {c_ {n} \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) R_ {n} (x) \ omega (x) \, \ mathrm {d} x.}
Özel değerler
R
0
(
x
)
=
1
R
1
(
x
)
=
x
-
1
x
+
1
R
2
(
x
)
=
x
2
-
6
x
+
1
(
x
+
1
)
2
R
3
(
x
)
=
x
3
-
15
x
2
+
15
x
-
1
(
x
+
1
)
3
R
4
(
x
)
=
x
4
-
28
x
3
+
70
x
2
-
28
x
+
1
(
x
+
1
)
4
R
n
(
x
)
=
(
x
+
1
)
-
n
∑
m
=
0
n
(
-
1
)
m
(
2
n
2
m
)
x
n
-
m
{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {0} (x) & = 1 \\ R_ {1} (x) & = {\ frac {x-1} {x + 1}} \\ R_ {2} (x) & = {\ frac {x ^ {2} -6x + 1} {(x + 1) ^ {2}}} \\ R_ {3} (x) & = {\ frac {x ^ {3 } -15x ^ {2} + 15x-1} {(x + 1) ^ {3}}} \\ R_ {4} (x) & = {\ frac {x ^ {4} -28x ^ {3} + 70x ^ {2} -28x + 1} {(x + 1) ^ {4}}} \\ R_ {n} (x) & = (x + 1) ^ {- n} \ toplam _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} {\ binom {2n} {2m}} x ^ {nm} \ end {hizalı}}}
Kısmi kesir genişlemesi
R
n
(
x
)
=
∑
m
=
0
n
(
m
!
)
2
(
2
m
)
!
(
n
+
m
-
1
m
)
(
n
m
)
(
-
4
)
m
(
x
+
1
)
m
{\ displaystyle R_ {n} (x) = \ toplam _ {m = 0} ^ {n} {\ frac {(m!) ^ {2}} {(2m)!}} {\ binom {n + m -1} {m}} {\ binom {n} {m}} {\ frac {(-4) ^ {m}} {(x + 1) ^ {m}}}}
Referanslar
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
