Zincir kuralı (olasılık) - Chain rule (probability)

Olarak olasılık teorisi, zincir kuralı (aynı zamanda , genel ürün kuralı ) herhangi bir üyesi hesaplanmasına imkan ortak dağılımın bir dizi rastgele değişken sadece kullanılarak koşullu olasılıkları . Kural, koşullu olasılıklar açısından bir olasılık dağılımını tanımlayan Bayes ağları çalışmasında yararlıdır .

Olaylar için zincir kuralı

İki olay

İki rastgele olay için zincir kuralı ve diyor ki ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle P (A \ cap B) = P (B \ orta A) \ cdot P (A)}$ .

Misal

Bu kural aşağıdaki örnekte gösterilmektedir. Urn 1'de 1 siyah top ve 2 beyaz top var ve Urn 2'de 1 siyah top ve 3 beyaz top var. Rastgele bir vazo seçtiğimizi ve ardından o torbadan bir top seçtiğimizi varsayalım. Olay Let ilk semaver seçerek be: . Olay , beyaz bir top seçme şansımız olsun . İlk torbayı seçtiğimiz için beyaz bir top seçme şansı . Olay onların kesişme noktası olacaktı: ilk torbayı ve ondan beyaz bir top seçmek. Olasılık, olasılık için zincir kuralı ile bulunabilir: ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P (A) = P ({\ overline {A}}) = 1/2}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle P (B | A) = 2/3}$${\ displaystyle A \ cap B}$

${\ displaystyle \ mathrm {P} (A \ cap B) = \ mathrm {P} (B \ orta A) \ mathrm {P} (A) = 2/3 \ times 1/2 = 1/3}$ .

İkiden fazla etkinlik

İkiden fazla olay için zincir kuralı formüle genişler ${\ displaystyle A_ {1}, \ ldots, A_ {n}}$

${\ displaystyle \ mathrm {P} (A_ {n} \ cap \ ldots \ cap A_ {1}) = \ mathrm {P} (A_ {n} | A_ {n-1} \ cap \ ldots \ cap A_ { 1}) \ cdot \ mathrm {P} (A_ {n-1} \ cap \ ldots \ cap A_ {1})}$

hangi indüksiyonla dönüştürülebilir

${\ displaystyle \ mathrm {P} (A_ {n} \ cap \ ldots \ cap A_ {1}) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ mathrm {P} \ sol (A_ {k} \ , {\ Bigg |} \, \ bigcap _ {j = 1} ^ {k-1} A_ {j} \ sağ)}$ .

Misal

Dört olay ( ) ile, zincir kuralı ${\ displaystyle n = 4}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {P} (A_ {1} \ cap A_ {2} \ cap A_ {3} \ cap A_ {4}) & = \ mathrm {P} (A_ {4} \ mid A_ {3} \ cap A_ {2} \ cap A_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (A_ {3} \ cap A_ {2} \ cap A_ {1}) \\ & = \ mathrm {P} (A_ {4} \ mid A_ {3} \ cap A_ {2} \ cap A_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (A_ {3} \ mid A_ {2} \ cap A_ {1 }) \ cdot \ mathrm {P} (A_ {2} \ cap A_ {1}) \\ & = \ mathrm {P} (A_ {4} \ mid A_ {3} \ cap A_ {2} \ cap A_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (A_ {3} \ mid A_ {2} \ cap A_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (A_ {2} \ mid A_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (A_ {1}) \ end {hizalı}}}$

Rastgele değişkenler için zincir kuralı

İki rastgele değişken

İki rastgele değişken için, ortak dağılımı bulmak için, elde etmek için koşullu olasılık tanımını uygulayabiliriz: ${\ displaystyle X, Y}$

${\ displaystyle \ mathrm {P} (X, Y) = \ mathrm {P} (X \ orta Y) \ cdot P (Y)}$

İkiden fazla rastgele değişken

Rastgele değişkenlerin indekslenmiş bir koleksiyonunu düşünün . Ortak dağılımın bu üyesinin değerini bulmak için, elde etmek için koşullu olasılık tanımını uygulayabiliriz: ${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$

${\ displaystyle \ mathrm {P} (X_ {n}, \ ldots, X_ {1}) = \ mathrm {P} (X_ {n} | X_ {n-1}, \ ldots, X_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (X_ {n-1}, \ ldots, X_ {1})}$

Bu süreci her son terimle tekrarlamak ürünü oluşturur:

${\ displaystyle \ mathrm {P} \ sol (\ bigcap _ {k = 1} ^ {n} X_ {k} \ sağ) = \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ mathrm {P} \ sol (X_ {k} \, {\ Bigg |} \, \ bigcap _ {j = 1} ^ {k-1} X_ {j} \ sağ)}$

Misal

Dört değişkenle ( ), zincir kuralı bu koşullu olasılıkların ürününü üretir: ${\ displaystyle n = 4}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {P} (X_ {4}, X_ {3}, X_ {2}, X_ {1}) & = \ mathrm {P} (X_ {4} \ mid X_ {3}, X_ {2}, X_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (X_ {3}, X_ {2}, X_ {1}) \\ & = \ mathrm {P} (X_ {4 } \ mid X_ {3}, X_ {2}, X_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (X_ {3} \ mid X_ {2}, X_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} ( X_ {2}, X_ {1}) \\ & = \ mathrm {P} (X_ {4} \ mid X_ {3}, X_ {2}, X_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (X_ {3} \ mid X_ {2}, X_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (X_ {2} \ mid X_ {1}) \ cdot \ mathrm {P} (X_ {1}) \ end { hizalı}}}$

Dipnotlar

Referanslar

• Schum, David A. (1994). Olasılıksal Akıl Yürütmenin Kanıta Dayalı Temelleri . Northwestern University Press. s. 49. ISBN   978-0-8101-1821-8 .
• Klugh, Henry E. (2013). İstatistikler: Araştırma İçin Temeller (3. baskı). Psychology Press. s. 149. ISBN   978-1-134-92862-0 .
• Russell, Stuart J .; Norvig, Peter (2003), Yapay Zeka: Modern Bir Yaklaşım (2. baskı), Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, ISBN   0-13-790395-2 , s. 496.
• "Olasılığın Zincir Kuralı" , developerWorks , 3 Kasım 2012.