Cauchy sorunu - Cauchy problem

Matematikte bir Cauchy problemi , etki alanındaki bir hiperyüzeyde verilen belirli koşulları sağlayan kısmi diferansiyel denklemin çözümünü ister . Bir Cauchy problemi bir başlangıç değer problemi veya bir sınır değer problemi olabilir (bu durum için ayrıca Cauchy sınır şartına bakınız ). Adını Augustin-Louis Cauchy'den almıştır .

Resmi açıklama

İle tanımlanan bir kısmi diferansiyel denklem için R ^{, n + 1} ve pürüzsüz bir manifold S ⊂ R ^{, n + 1} boyutun N ( S denir Cauchy yüzeyi ), Cauchy problemi bilinmeyen işlevleri bulma oluşur bağlı diferansiyel denklem bağımsız değişkenler tatmin olduğunu $u_{1},\dots ,u_{N}$ $t,x_{1},\dots ,x_{n}$

{\begin{hizalanmış}&{\frac {\kısmi ^{n_{i}}u_{i}}{\kısmi t^{n_{i}}}}=F_{i}\left(t ,x_{1},\dots ,x_{n},u_{1},\dots ,u_{N},\dots ,{\frac {\partial ^{k}u_{j}}{\partial t^ {k_{0}}\partial x_{1}^{k_{1}}\dots \partial x_{n}^{k_{n}}}},\dots \right)\\&{\text{için }}i,j=1,2,\dots ,N;\,k_{0}+k_{1}+\dots +k_{n}=k\leq n_{j};\,k_{0}< n_{j}\end{hizalı}}

koşula bağlı olarak, bir miktar değer için , ${\görüntüleme stili t=t_{0}}$

{\frac {\kısmi ^{k}u_{i}}{\kısmi t^{k}}}=\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots , x_{n})\quad {\text{için }}k=0,1,2,\dots ,n_{i}-1

yüzeyde tanımlanmış fonksiyonlar nerede verilir (topluca problemin Cauchy verileri olarak bilinir ). Sıfır derecenin türevi, fonksiyonun kendisinin belirtildiği anlamına gelir. $\phi _{i}^{(k)}(x_{1},\dots ,x_{n})$ ${\görüntüleme stili S}$

Cauchy-Kowalevski teoremi

Cauchy-Kowalevski teoremi belirten tüm fonksiyonlar ise şunlardır analitik noktasının bazı mahalle ve tüm fonksiyonlar eğer noktasının bazı mahalle analitik olan , daha sonra Cauchy problemi noktasının bazı mahalle benzersiz analitik çözümü vardır $F_{i}$ $(t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,\phi _{j,k_{0},k_{1},\dots , k_{n}}^{0},\noktalar )$ $\phi _{j}^{(k)}$ $(x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$ $(t^{0},x_{1}^{0},x_{2}^{0},\dots ,x_{n}^{0})$ .