Minkowski–Bouligand boyutu - Minkowski–Bouligand dimension

Büyük Britanya kıyılarının kutu sayma boyutunun tahmin edilmesi

Gelen fraktal geometri , Minkowsky-Bouligand boyutu olarak da bilinen, Minkowsky boyut ya da kutu sayma boyutunun belirlenmesi, bir yoludur Fraktal boyutu a grubu S , bir de Öklid alan R ^{, n} , bir de, veya daha genel olarak metrik alanı ( X ,  d ). Adını Polonyalı matematikçi Hermann Minkowski ve Fransız matematikçi Georges Bouligand'dan almıştır .

Bir fraktal S için bu boyutu hesaplamak için , bu fraktalın eşit aralıklı bir ızgara üzerinde uzandığını hayal edin ve seti kaplamak için kaç kutu gerektiğini sayın . Bir kutu sayma algoritması uygulayarak ızgarayı daha ince hale getirdiğimizde bu sayının nasıl değiştiğini görerek kutu sayma boyutu hesaplanır .

N ( ε ), kümeyi kaplamak için gereken kenar uzunluğu ε olan kutu sayısı olduğunu varsayalım . Ardından kutu sayma boyutu şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle \dim _{\rm {kutu}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )} }.}$

Kabaca, bu araçlar boyut üssüdür, d , öyle ki , N (1 / n ) ≈ Cn ^d burada bir önemsiz durumda ne beklenir, S tamsayı boyutu d düzgün bir boşluk (bir manifold) 'dir.

Yukarıdaki limit mevcut değilse, yine de üst kutu boyutunu ve alt kutu boyutunu tanımlayan, üst sınır ve alt sınır alınabilir . Üst kutu boyutu bazen entropi boyutu , Kolmogorov boyutu , Kolmogorov kapasitesi , limit kapasitesi veya üst Minkowski boyutu olarak adlandırılırken, alt kutu boyutu da alt Minkowski boyutu olarak adlandırılır .

Üst ve alt kutu boyutları, daha popüler olan Hausdorff boyutuyla güçlü bir şekilde ilişkilidir . Sadece çok özel uygulamalarda üçünü birbirinden ayırmak önemlidir (aşağıya bakınız ). Fraktal boyutun bir başka ölçüsü de korelasyon boyutudur .

Alternatif tanımlar

Top paketleme, top kaplama ve kutu kaplama örnekleri.

Kutu ölçülerini, kaplama numarası veya ambalaj numarası ile bilyeler kullanarak tanımlamak mümkündür . Örtme sayısı , fraktalı örtmek için gereken ε yarıçaplı açık topların minimum sayısıdır veya başka bir deyişle, birleşmeleri fraktal içerecek şekildedir. Aynı şekilde tanımlanan, ancak açık topların merkezlerinin S kümesinin içinde olması ek şartıyla tanımlanan içsel kaplama numarasını da dikkate alabiliriz . Paketleme sayısı , merkezleri fraktalın içinde olacak şekilde yerleştirilebilecek ε yarıçaplı ayrık açık topların maksimum sayısıdır . Birlikte , N , N _kapsayan , N' _kapsayan ve N _ambalaj tam olarak özdeş değildir, yakından ilgili ve üst ve alt kutu boyutlarının aynı tanımlara artmasını sağlar edilir. Aşağıdaki eşitsizlikler kanıtlandıktan sonra bunu kanıtlamak kolaydır: ${\displaystyle N_{\rm {örtme}}(\varepsilon )}$${\displaystyle N'_{\rm {örtme}}(\varepsilon )}$${\displaystyle N_{\rm {paketleme}}(\varepsilon )}$

${\displaystyle N_{\text{paketleme}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{kaplama}}(\varepsilon )\leq N_{\text{kaplama}}(\varepsilon /2).\, }$

Bunlar, sırayla, üçgen eşitsizliğinden biraz çaba ile takip eder .

Kareler yerine top kullanmanın avantajı, bu tanımın herhangi bir metrik uzaya genellenmesidir . Başka bir deyişle, kutu tanımı dışsaldır - S fraktal uzayının bir Öklid uzayında kapsandığı varsayılır ve kutuları kapsayan uzayın dış geometrisine göre tanımlanır. Bununla birlikte, ölçü S olmalıdır iç çevre bağımsız içine S yerleştirilir, ve top tanımı içsel formüle edilebilir. Bir iç top, seçilen bir merkeze belirli bir mesafedeki S'nin tüm noktaları olarak tanımlanır ve boyutu elde etmek için bu tür toplar sayılır. (Daha doğrusu, N _kaplama tanımı dışsaldır, ancak diğer ikisi içseldir.)

Kutu kullanmanın avantajı, birçok durumda N ( ε ) açıkça kolayca hesaplanabilmesi ve kutular için kaplama ve paketleme numaralarının (eşdeğer bir şekilde tanımlanır) eşit olmasıdır.

Logaritma ambalaj ve kaplama numaralarının bazen şu şekilde ifade edilir entropi sayı , ve biraz kavramlarına benzer olan termodinamik entropi ve bilgi teorik entropi da metrik uzayda "bozukluk" miktarını ölçmek olmasıyla ya da ölçekli fraktal ε ve ayrıca ε doğruluğu için uzayın bir noktasını belirtmek için kaç bit veya basamak gerektiğini ölçün .

Kutu sayma boyutu için başka bir eşdeğer (dışsal) tanım şu formülle verilir:

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\ günlük r}},}$

her biri için burada r  > 0, grubu olarak tanımlanır r arasında -neighborhood S , tüm noktalarda kümesini yani daha az mesafe ile birbirinden ayrılır r arasından S (ya da eşdeğer şekilde, radius tüm açık topları birliği S'de bir noktada ortalanmış olan  r ). ${\ Displaystyle S_{r}}$${\görüntüleme stili R^{n}}$${\ Displaystyle S_{r}}$

Özellikleri

Her iki kutu boyutu da sonlu toplamlıdır, yani eğer { A ₁ , .... A _n } sonlu bir kümeler topluluğuysa

${\displaystyle \dim(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim A_{1},\dots ,\dim A_{n}\}.\,}$

Ancak bunlar sayılabilir toplamsal değildir , yani bu eşitlik sonsuz küme dizisi için geçerli değildir . Örneğin, tek bir noktanın kutu boyutu 0'dır, ancak [0, 1] aralığındaki rasyonel sayılar koleksiyonunun kutu boyutu 1 boyuta sahiptir. Karşılaştırmaya göre Hausdorff ölçüsü sayılabilir toplamsaldır.

Üst kutu boyutunun, alt kutu boyutuyla veya Hausdorff boyutuyla paylaşılmayan ilginç bir özelliği, küme toplama bağlantısıdır. Eğer bir ve B iki küme bir Öklid uzayda sonra bir + B noktaları tüm çiftleri olarak şekillendirilir a, b , bir ila A ve B ile ilgili bir B ve ekleme , a + b . Birinde var

${\displaystyle \dim _{\text{üst kutu}}(A+B)\leq \dim _{\text{üst kutu}}(A)+\dim _{\text{üst kutu}}(B) .}$

Hausdorff boyutuyla ilişkiler

Kutu sayma boyutu, fraktallara uygulanabilen bir dizi boyut tanımından biridir. Birçok iyi davranışlı fraktal için tüm bu boyutlar eşittir; özellikle, bu boyutlar, fraktal açık küme koşulunu (OSC) her karşıladığında çakışır . Örneğin , Cantor kümesinin Hausdorff boyutu , alt kutu boyutu ve üst kutu boyutunun tümü log(2)/log(3)'e eşittir. Ancak, tanımlar eşdeğer değildir.

Kutu boyutları ve Hausdorff boyutu eşitsizlikle ilişkilidir.

${\displaystyle \dim _{\operatöradı {Haus} }\leq \dim _{\operatöradı {alt kutu} }\leq \dim _{\operatöradı {üst kutu} }.}$

Genel olarak her iki eşitsizlik de katı olabilir . Fraktalın farklı ölçeklerde farklı davranışları varsa, üst kutu boyutu alt kutu boyutundan daha büyük olabilir. Örneğin, koşulu sağlayan [0,1] aralığındaki sayı kümesini inceleyin.

herhangi biri için n , 2 ila bütün basamak ^{2 , n} -inci basamak ve (2 ^{, 2 , n + 1}  - 1) inci basamak sıfırdır

"Tek yer-aralıklarındaki" rakamlar, yani 2 ^{2 n +1} ve 2 ^{2 n +2}  − 1 arasındaki rakamlar sınırlı değildir ve herhangi bir değer alabilir. Bu fraktal, 2/3 üst kutu boyutuna ve 1/3 alt kutu boyutuna sahiptir; bu, N ( ε ) için hesaplanarak ve n çift ​​ve tek için değerlerinin farklı davrandığına dikkat edilerek kolayca doğrulanabilecek bir gerçektir . ${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$

Daha fazla örnek: ile sayılabilir bir küme olan rasyonel sayılar kümesi , kapanışının 1 boyutuna sahip olduğu için.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \dim _{\operatöradı {Haus} }=0}$${\displaystyle \dim _{\operatöradı {kutu} }=1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \dim _{\operatöradı {box} }\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{ 4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$

Bu örnekler, sayılabilir bir küme eklemenin kutu boyutunu değiştirebileceğini ve bu boyutun bir tür kararsızlığını gösterebileceğini göstermektedir.

Ayrıca bakınız

• korelasyon boyutu
• ambalaj boyutu
• belirsizlik üssü
• Weyl-Berry varsayımı
• boşluk

Referanslar

• Falconer, Kenneth (1990). Fraktal geometri: matematiksel temeller ve uygulamalar . Chichester: John Wiley. s.  38-47 . ISBN'si 0-471-92287-0. Zbl  0689.28003 .
• Weisstein, Eric W. "Minkowski-Bouligand Boyut" . Matematik Dünyası .

Dış bağlantılar

• FrakOut!: Kutu sayma yöntemini kullanarak bir şeklin fraktal boyutunu hesaplamak için bir OSS uygulaması (Kutuları sizin için otomatik olarak yerleştirmez).
• FracLac: çevrimiçi kullanım kılavuzu ve yazılımı ImageJ ve FracLac kutu sayma eklentisi; biyolojide dijital görüntü analizi için ücretsiz, kullanıcı dostu açık kaynaklı yazılım