Bloch teoremi - Bloch's theorem

Ön bilgiler: Kristal simetriler, kafes ve karşılıklı kafes

Bir kristalin tanımlayıcı özelliği, öteleme simetrisidir; bu, kristalin uygun bir miktarda kaydırılması durumunda, tüm atomlarıyla aynı yerlere sarılması anlamına gelir. (Sonlu boyutlu bir kristal mükemmel öteleme simetrisine sahip olamaz, ancak bu yararlı bir yaklaşımdır.)

Üç boyutlu bir kristalin üç ilkel kafes vektörü vardır a ₁ , a ₂ , a ₃ . Kristal, bu üç vektörden herhangi biri veya bunların bir kombinasyonu tarafından kaydırılırsa

${\displaystyle n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$

burada n, _i bunlar başladı sonra atomuna yerle aynı set sonuna kadar üç tam sayılardır,.

İspattaki bir başka yardımcı bileşen, karşılıklı kafes vektörleridir . Bunlar, a _i · b _i = 2π, ancak i ≠ j olduğunda a _i · b _j = 0 özelliğine sahip üç b ₁ , b ₂ , b ₃ vektörüdür (ters uzunluk birimleriyle) . (Formül için b _i , bkz Ters örgü vektör ).

Çeviri operatörleri hakkında bilgi

Let anlamında olabildikleri, bir çeviri operatörü kaymalar, her dalga miktarı ile fonksiyon bu n- ₁ , bir ₁ + n, ₂ , bir ₂ + n, ₃ , bir ₃ (yukarıdaki gibi, n _j tamsayılardır). Aşağıdaki gerçek, Bloch teoreminin ispatı için yararlıdır: ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$

Lemma: bir dalga fonksiyonu ise bir bir özdurumu (aynı anda) için operatörlerinin olarak, daha sonra bir Bloch durumudur.${\görüntüleme stili\psi }$${\görüntüleme stili\psi }$

İspat: Tüm çeviri operatörlerinin öz durumu olan bir dalga fonksiyonumuz olduğunu varsayalım . Bunun özel bir durumu olarak, ${\görüntüleme stili\psi }$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=C_{j}\psi (\mathbf {r} )}$

için j = 1, 2, 3, Cı- _j üç sayı (vardır özdeğerler bağımlı olmayan) r . C _j sayılarını e ^{2 πiθ _j} = C _j ile θ ₁ , θ ₂ , θ _{3 olmak} üzere üç sayı seçerek farklı bir biçimde yazmak ^yararlıdır :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )}$

Yine, θ _j , r'ye bağlı olmayan üç sayıdır . Tanımlama k = θ ₁ b ₁ + θ ₂ b ₂ + θ ₃ b _{, 3} , b _j olan düz örgü vektörleri (yukarıya bakınız). Son olarak, tanımlayın

${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\psi (\mathbf {r} )\,. }$

Sonra

${\displaystyle u(\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} +\ mathbf {a} _{j})}\psi (\mathbf {r} +\mathbf {a} _{j})={\big (}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf) {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {a} _{j}}{\big )}{\big ( }\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} ){\big )}=\mathrm {e} ^{-\mathrm {i } \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} \theta _{j}}\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm { i} \theta _{j}}\psi (\mathbf {r} )=u(\mathbf {r} )}$.

Bu kanıtlıyor u kafeste periyodunu sahiptir. Çünkü bu , devletin bir Bloch devleti olduğunu kanıtlar. ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u(\mathbf {r} )}$

Kanıt

Son olarak, Bloch teoreminin aşağıdaki gibi ana kanıtına hazırız.

Yukarıdaki gibi, her dalga fonksiyonunu n ₁ a ₁ + n ₂ a ₂ + n ₃ a ₃ miktarı kadar kaydıran bir öteleme operatörü gösterelim , burada n _i tam sayılardır. Kristal öteleme simetrisine sahip olduğundan, bu operatör Hamilton operatörü ile yer değiştirir . Ayrıca, bu tür çeviri operatörlerinin her biri birbiriyle iş yapar. Bu nedenle, Hamilton operatörünün ve olası her operatörün eşzamanlı bir öztebanı vardır . Bu temel, aradığımız şeydir. Bu temeldeki dalga fonksiyonları, enerji özdurumlarıdır (çünkü bunlar Hamiltoniyenin özdurumlarıdır) ve aynı zamanda Bloch durumlarıdır (çünkü bunlar öteleme operatörlerinin özdurumlarıdır; bkz. yukarıdaki Lemma). ${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$${\displaystyle {\hat {T}}_{n_{1},n_{2},n_{3}}\!}$

Çeviri operatörünü tanımlıyoruz

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {T} _{\mathbf) {n} })=\psi (\mathbf {r} +n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf { a} _{3})=\psi (\mathbf {r} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )}$

Ortalama bir periyodik potansiyel hipotezini kullanıyoruz

${\displaystyle U(\mathbf {x} +\mathbf {T} _{\mathbf {n} })=U(\mathbf {x} )}$

ve hamiltonian ile bağımsız elektron yaklaşımı

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {{\hat {\mathbf {p}}}^{2}}{2m}}+U(\mathbf {x} )}$

Hamiltonian, çeviriler için değişmez olduğu için, çeviri operatörü ile değişmelidir.

${\displaystyle [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {T} }}_{\mathbf {n} }]=0}$

ve iki operatör ortak bir özfonksiyon kümesine sahip olacaktır. Bu nedenle, çeviri operatörünün öz fonksiyonlarına bakmaya başlıyoruz:

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n}}\psi (\mathbf {x} )=\lambda _{\mathbf {n} }\psi (\mathbf {x} )}$

Verilen bir katkı operatörüdür ${\ Displaystyle {\hat {\mathbf {T} }} _{\mathbf {n} }}$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n_{1}} }{\hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n_{2}} }\psi ( \mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n_{1}} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {n_{2}} \cdot \mathbf {a} )={ \hat {\mathbf {T}}}_{\mathbf {n_{1}} +\mathbf {n_{2}} }\psi (\mathbf {x} )}$

Burada özdeğer denklemini yerine koyarsak ve her iki tarafa da atlarsak , ${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n_{1}} }\lambda _{\mathbf {n_{2}} }=\lambda _{\mathbf {n_{1}} +\mathbf {n_{2} } }}$

Bu, şunun için geçerlidir:

${\displaystyle \lambda _{\mathbf {n} }=e^{s\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }}$

nerede ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$

normalleştirme koşulunu tek bir ilkel hacim V hücresi üzerinde kullanırsak

${\displaystyle 1=\int _{V}|\psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =\int _{V}|\mathbf {{\hat {T}} _{n}} \psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} =|\lambda _{\mathbf {n} }|^{2}\int _{V}|\ psi (\mathbf {x} )|^{2}d\mathbf {x} }$

ve bu nedenle

${\displaystyle 1=|\lambda _{\mathbf {n}}|^{2}}$ve nerede${\displaystyle s=ik}$${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$

Nihayet

${\displaystyle \mathbf {{\hat {T}}_{n}} \psi (\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} ) =e^{ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} }\psi (\mathbf {x} )}$

Bir bloch için ie dalga için hangisi doğrudur ile ${\displaystyle \psi _{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf { x} )}$${\displaystyle u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} +\mathbf {n} \cdot \mathbf {a} )}$

Tüm Çeviriler olan üniter ve Abel . Çeviriler birim vektörler cinsinden yazılabilir

${\displaystyle {\vec {\mathbf {\tau }}}=\sum _{i=1}^{3}n_{i}{\vec {\mathbf {a}}}_{i}}$

Bunları commuting operatörleri olarak düşünebiliriz.

${\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}={\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{1}{\hat {\vec {\mathbf { \tau } }}}_{2}{\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{3}}$ nerede ${\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {\tau }}}}_{i}=n_{i}{\hat {\vec {\mathbf {a} }}}_{i}}$

Operatörlerin değişmeliliği , sonsuz, 1 boyutlu ve değişmeli olan (yalnızca bir eleman tarafından üretilebildikleri göz önüne alındığında) üç değişmeli döngüsel alt grup verir. Abelian gruplarının tüm indirgenemez temsilleri tek boyutludur. ${\displaystyle {\hat {\vec {\mathbf {\tau } }}}_{i}}$

Tek boyutlu oldukları için matris gösterimi ve karakter aynıdır. Karakter grubu ya da aynı zamanda karmaşık sayılar üzerinde gösterimidir iz ait temsili , bu durumda tek boyutlu bir matristir. Tüm bu alt gruplar, döngüsel olduklarından , birliğin uygun kökleri olan karakterlere sahiptirler . Aslında itaat edecek bir jeneratöre ve dolayısıyla karaktere sahipler . Bunun sonlu döngüsel grup durumunda basit olduğuna dikkat edin, ancak sonsuz döngüsel grubun sayılabilir sonsuz durumunda (yani buradaki öteleme grubu) , karakterin sonlu kaldığı yerde bir sınır vardır . ${\görüntüleme stili \gama }$${\görüntüleme stili \gama ^{n}=1}$${\displaystyle \chi (\gama )^{n}=1}$${\displaystyle n\to \infty }$

Karakterin bir birliğin kökü olduğu göz önüne alındığında, her alt grup için karakter şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \chi _{k_{1}}({\hat {\vec {\tau }}}}_{1}(n_{1},a_{1}))=e^{ik_{1}n_ {1}bir_{1}}}$

Biz tanıtmak Eğer Born-von Karman sınır koşulu potansiyeli:

${\displaystyle V(\mathbf {r} +\sum N_{i}\mathbf {a} _{i})=V(\mathbf {r} +\mathbf {L} )=V(\mathbf {r} )}$

Burada L, aynı zamanda nerede katı olarak da görülebilen yönde makroskopik bir periyodikliktir.${\displaystyle {\vec {a}}}$${\ Displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \mathbf {L} =\sum N_{i}\mathbf {a} _{i}}$

Bu, zamandan bağımsız Schrödinger denkleminde basit bir etkin Hamiltoniyen ile yer değiştirme

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})}$

dalga fonksiyonu ile bir periyodikliği indükler:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} +\sum N_{i}\mathbf {a} _{i})=\psi (\mathbf {r} )}$

Ve her boyut için L periyoduna sahip bir çeviri operatörü

${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}+L_{i}}={\hat {P}}_{\varepsilon |\tau _{i}}}$

Buradan, karakterin de bir çeviri ile değişmez olacağını görebiliriz : ${\görüntüleme stili L_{i}}$

${\displaystyle e^{ik_{1}n_{1}a_{1}}=e^{ik_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})}}$

ve son denklemden her boyut için periyodik bir koşul elde ederiz:

${\displaystyle k_{1}n_{1}a_{1}=k_{1}(n_{1}a_{1}+L_{1})-2\pi m_{1}}$

tamsayı nerede ve${\displaystyle m_{1}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle k_{1}={\frac {2\pi m_{1}}{L_{1}}}}$

Dalga vektörü ile aynı şekilde azaltılamaz temsil tespit ve yönde kristalin makroskopik periyodik uzunluğudur . Bu bağlamda dalga vektörü, öteleme operatörü için bir kuantum sayısı işlevi görür. ${\görüntüleme stili k_{1}}$${\görüntüleme stili m_{1}}$${\görüntüleme stili L_{1}}$${\ Displaystyle a_{1}}$

Bunu 3 boyut için genelleyebiliriz ${\displaystyle \chi _{k_{1}}(n_{1},a_{1})\chi _{k_{2}}(n_{2},a_{2})\chi _{k_{3 }}(n_{3},a_{3})=e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {\tau }}}}$

ve dalga fonksiyonu için genel formül şöyle olur:

${\displaystyle {\hat {P}}_{R}\psi _{j}=\sum _{\alpha }\psi _{\alpha }\chi _{\alpha j}(R)}$

yani bir çeviri için uzmanlaşmak

${\displaystyle {\hat {P}}_{\varepsilon |{\vec {\tau }}}\psi ({\vec {\mathbf {r} }})=\psi ({\vec {\mathbf { r} }})e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {\tau }}}=\psi ({\vec {\mathbf {r} }}}+{\vec {\mathbf { \tau } }})}$

ve Bloch'un teoremini kanıtladık.

Grup teorisi tekniklerinden bir kısım bu kanıt ilginçtir çünkü Bloch teoreminin sadece çeviri olmayan gruplar için nasıl genelleştirileceğini netleştirir.

Bu, tipik olarak , bir öteleme ve bir nokta grubunun bir kombinasyonu olan Uzay grupları için yapılır ve FCC veya BCC gibi belirli bir kristal grup simetrisi ve nihayetinde ekstra bir temel verilen kristallerin bant yapısını, spektrumunu ve özgül ısılarını hesaplamak için kullanılır .

Bu ispatta, ekstra nokta grubunun etkin potansiyeldeki bir simetri tarafından yönlendirildiğinin, ancak Hamiltoniyen ile değişeceğinin nasıl anahtar olduğunu fark etmek de mümkündür.

Bloch teoremi genelleştirilmiş bir versiyonda, Fourier yani dalga fonksiyon genişleme, bir genelleştirilmiş alır dönüşümü, ayrık Fourier dönüşümü tek bir siklik grup ve bu nedenle çeviri için geçerli olan karakter genleşme dalga fonksiyonunun karakterler halinde verilir belirli sonlu nokta grubu .

Ayrıca burada karakterlerin (indirgenemez temsillerin değişmezleri olarak) indirgenemez temsillerin kendileri yerine temel yapı taşları olarak nasıl ele alınabileceğini görmek mümkündür .

${\displaystyle [{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {x} )]\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\sağ)=E_{\mathbf {k} }\left(e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf { x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\sağ)}$

ile kalıyoruz

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_ {\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\ sağ)+U(\mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k } }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\left(i\mathbf {k} \cdot \left(i\mathbf {k} e^{i\mathbf {k} \cdot) \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }( \mathbf {x} )\doğru)+i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x } )+e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\right)+U(\mathbf { x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\mathbf {k} ^{2}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\ mathbf {k} }(\mathbf {x} )-2i\mathbf {k} \cdot e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla u_{\mathbf {k} }(\ mathbf {x} )-e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }\nabla ^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )\doğru)+U( \mathbf {x} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }e^{ i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(-i\nabla +\mathbf {k} \sağ)^{2}u_{\mathbf {k} }(\mathbf { x} )+U(\mathbf {x} )u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )=E_{\mathbf {k} }u_{\mathbf {k} }(\mathbf {x} )}$

Bu türevler değerlendirmek ve bunlar, q, k'dan göre küçük sayılır q aşağıdaki genleşme katsayıları belirli bir ${\displaystyle {\frac {\partial\varepsilon _{n}}{\partial\mathbf {k} }}}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )=\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )+\sum _{i}{\frac {\partial \ varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{ n}}{\kısmi k_{i}\kısmi k_{j}}}q_{i}q_{j}+O(q^{3})}$

Verilen özdeğerler q'da aşağıdaki pertürbasyon problemini düşünebiliriz: ${\displaystyle \varepsilon _{n}(\mathbf {k} +\mathbf {q} )}$${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }}$

${\displaystyle {\hat {H}}_{\mathbf {k} +\mathbf {q} }={\hat {H}}_{\mathbf {k} }+{\frac {\hbar ^{2 }}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf {k} )+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}}$

İkinci mertebeden pertürbasyon teorisi şunu söyler:

${\displaystyle E_{n}=E_{n}^{0}+\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n} +\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\mathbf {r} \,\psi _{n}^{*}{\hat {V}}\psi _{n}| ^{2}}{E_{n}^{0}-E_{n'}^{0}}}+...}$

q'da doğrusal sırada hesaplamak için

${\displaystyle \sum _{i}{\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial k_{i}}}q_{i}=\sum _{i}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}(-i\nabla +\mathbf {k} )_{i}q_{i} u_{n\mathbf {k} }}$

Entegrasyonların ilkel bir hücre veya tüm kristal üzerinde olduğu durumlarda, integral aşağıdaki durumlarda verilir:

${\displaystyle \int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}u_{n\mathbf {k} }}$

hücre veya kristal boyunca normalleştirilir.

q üzerinde sadeleştirebilir ve ile kalabiliriz

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla +\mathbf {k} )u_{n\mathbf {k} }}$

Ve tüm dalga fonksiyonlarını yeniden ekleyebiliriz.

${\displaystyle {\frac {\partial \varepsilon _{n}}{\partial \mathbf {k} }}={\frac {\hbar ^{2}}{m}}\int d\mathbf {r} \psi _{n\mathbf {k} }^{*}(-i\nabla )\psi _{n\mathbf {k} }}$

İkinci derece terim

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}} }q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\int d\ mathbf {r} \,u_{n\mathbf {k} }^{*}{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla +\mathbf { k} )u_{n'\mathbf {k} }|^{2}}{\varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$

ile tekrar ${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=|n\mathbf {k} \rangle =e^{i\mathbf {k} \mathbf {x} }u_{n\mathbf {k} }}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{ij}{\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}}{\partial k_{i}\partial k_{j}} }q_{i}q_{j}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}q^{2}+\sum _{n'\neq n}{\frac {|\langle n\ mathbf {k} |{\frac {\hbar ^{2}}{m}}\mathbf {q} \cdot (-i\nabla )|n'\mathbf {k} \rangle |^{2}}{ \varepsilon _{n\mathbf {k} }-\varepsilon _{n'\mathbf {k} }}}}$

Ve kurtulmak ve teoremimiz var ${\displaystyle q_{i}}$${\görüntüleme stili q_{j}}$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )}{\partial k_{i}\partial k_{j}}}={\frac {\hbar ^ {2}}{m}}\delta _{ij}+\left({\frac {\hbar ^{2}}{m}}\sağ)^{2}\sum _{n'\neq n} {\frac {\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{j}| n\mathbf {k} \rangle +\langle n\mathbf {k} |-i\nabla _{j}|n'\mathbf {k} \rangle \langle n'\mathbf {k} |-i\nabla _{i}|n\mathbf {k} \rangle }{\varepsilon _{n}(\mathbf {k} )-\varepsilon _{n'}(\mathbf {k} )}}}$