Bernstein'ın sorun - Bernstein's problem
Olarak diferansiyel geometri , Bernstein sorunu ile ilgili bir fonksiyonu grafiği halinde aşağıdaki gibidir R , n -1 a, minimum yüzey içinde R, n , bu fonksiyon, doğrusal olduğu anlamına geliyor? Bu boyutta geçerlidir , n 8, en fazla ancak boyutları yanlış n en az sorun olarak adlandırılır 9'a Sergei Natanovich Bernstein çözümlendiği n 1914 = 3.
içindekiler
Beyan
Varsayalım ki f bir fonksiyonudur , n 1 değişkenli -. Grafiği f içindeki bir yüzey olan R ' , n , ve bu en az bir yüzey olduğu bir durum olmasıdır f tatmin minimum yüzey denklemi
Bernstein sorun, sorar tüm fonksiyonu (boyunca tanımlanmış bir işlev R n -1 ) Bu denklemi çözer mutlaka bir derece-1 polinom.
Tarihçe
Bernstein (1915-1917) ile ilgili gerçek bir fonksiyon grafiği Bernstein teoremi kanıtlamıştır R 2 aynı zamanda en az bir yüzey R 3 bir düzlemde olmalıdır.
(1962) Fleming hiçbir düzlemsel olmayan alan minimize koni olduğu gerçeğinden de deducing ile Bernstein teoreminin yeni bir kanıtı verdi R 3 .
De Giorgi (1965) herhangi bir düzlemsel olmayan alan minimize koni varsa göstermiştir R , n -1 sonra Bernstein teoreminin analog için de geçerlidir R n özellikle de doğru olduğu anlamına gelir, R 4 .
(1966) Almgren konileri minimize bir düzlemsel olmayan vardır gösterdi R 4 bundan dolayı, Bernstein teoremi uzanan, R 5 .
(1968) Simons konileri minimize bir düzlemsel olmayan vardır gösterdi R 7 bundan dolayı, Bernstein teoremi uzanan, R 8 . O da yerel olarak kararlı koni örnekler verdi R 8 ve küresel alanda minimum yapacak olsaydı istedi.
Bombieri De Giorgi ve (1969) Giusti Simons' koniler gerçekten küresel minimize olduğunu göstermiştir, ve bu gösterdi R , n için n ≥9 az değil hiperdüzlemler grafiklerdir vardır. Simons sonucu ile birlikte bu Bernstein'ın teoreminin analog 8'e kadar boyutlarda gerçek ve daha yüksek boyutlarda yanlış olduğunu göstermektedir. Özel bir örneği bir yüzeydir .
Referanslar
- Almgren, FJ (1966), "minimal yüzeyler için bazı iç düzenlilik teorileri ve Bernstein teoreminin bir uzantısı", Matematik Annals of , ikinci dizi 84 : 277-292, DOI : 10,2307 / 1.970.520 , ISSN 0003-486X , JSTOR'un 1.970.520 , MR 0200816
- Bernstein, SN (1915-1917), "Sur une théorème de GEOMETRIE et ses uygulamaları aux denklemler dérivées partielles du tip elliptique", Comm. Soc. Matematik. Kharkov , 15 : 38-45Alman çeviri Bernstein, (1927) Serge, "Über ein geometrisches Teoremi und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus", Mathematische Zeitschrift (Almanca), Springer Berlin / Heidelberg, 26 551-558,: doi : 10.1007 / BF01475472 , ISSN 0025-5874
- Bombieri Enrico ; De Giorgi Ennio; Giusti, (1969), E., "Minimal koniler ve Bernstein sorunu" Inventiones Mathematicae , 7 : 243-268, DOI : 10.1007 / BF01404309 , ISSN 0020-9910 , MR 0.250.205
- De Giorgi, Ennio (1965), "Una estensione del Teorema di Bernstein" , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 19 : 79-85, MR 0.178.385
- "Odaklı Yayla sorununun Üzerine" Fleming, Wendell H. (1962), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Seri II , 11 : 69-90, doi : 10.1007 / BF02849427 , ISSN 0009-725X , MR 0.157.263
- Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], "Bernstein teoremi" , içinde Hazewinkel, Michiel , Matematik Ansiklopedisi , Springer BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Simons, James (1968), "Riemann manifoldu içinde Minimal çeşitleri", Matematik Annals of , İkinci Serisi, 88 : 62-105, doi : 10,2307 / 1970556 , ISSN 0003-486X , Özyeğin 1970556 , MR 0233295
- Straume, E. (2001) [1994], "farklı geometri Bernstein sorunu" olarak, Hazewinkel, Michiel , Matematik Ansiklopedisi , Springer BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4