Eğilme anı - Bending moment

Gelen katı mekaniği , bir eğilme momenti olan reaksiyon bir indüklenen yapı elemanının bir dış zaman kuvvet veya moment elemanı neden elemanına uygulanan bükme . Eğilme momentlerine maruz kalan en yaygın veya en basit yapı elemanı kiriştir . Diyagram, her iki ucunda da basitçe desteklenen (dönmesi serbest ve dolayısıyla bükülme momentlerinden yoksun) bir kirişi göstermektedir; uçlar yalnızca kesme yüklerine tepki verebilir . Diğer kirişlerin her iki ucu sabitlenmiş olabilir; bu nedenle her uç desteğinin hem eğilme momentleri hem de kesme reaksiyon yükleri vardır. Kirişlerin ayrıca bir ucu sabit ve bir ucu basitçe desteklenebilir. En basit kiriş türü , bir ucunda sabitlenen ve diğer ucunda serbest olan (ne basit ne de sabit) dirseklidir . Gerçekte, kiriş destekleri genellikle ne tam olarak sabittir ne de tamamen serbestçe döner.

Yapısal elemanın bir enine kesitindeki dahili reaksiyon yükleri, nihai bir kuvvet ve sonuçta oluşan bir çift halinde çözülebilir . Denge için, dış kuvvetler (ve dış momentler) tarafından oluşturulan moment , iç yükler tarafından indüklenen çift ile dengelenmelidir . Ortaya çıkan iç çift bükülme momenti olarak adlandırılırken, ortaya çıkan iç kuvvet kesme kuvveti (eleman düzlemine çapraz ise) veya normal kuvvet (elemanın düzlemi boyundaysa) olarak adlandırılır.

Yapısal bir elemanın bir bölümündeki bükülme momenti, o bölümün bir tarafına etki eden tüm dış kuvvetlerin o bölümü hakkındaki momentlerin toplamı olarak tanımlanabilir. Kesitin her iki tarafındaki kuvvetler ve momentler, birbirini etkisiz hale getirmek ve bir denge durumunu korumak için eşit olmalıdır, böylece aynı eğilme momenti, bölümün hangi tarafının seçildiğine bakılmaksızın momentlerin toplanmasından kaynaklanacaktır. Saat yönünde bükülme momentleri negatif olarak alınırsa, bir eleman içindeki negatif bir bükülme momenti " sarılmaya ", pozitif bir an ise " sarkmaya " neden olur . Bu nedenle, bir kiriş içindeki sıfır bükülme momentine sahip bir noktanın bir kontrafleks noktası olduğu açıktır - yani, hoggingden sarkmaya geçiş noktası veya tam tersi.

Momentler ve torklar , birim newton-metre (N · m) veya pound-ayak (lbf · ft) olarak sahip oldukları için bir mesafeyle çarpılan bir kuvvet olarak ölçülür . Eğilme momenti kavramı mühendislikte (özellikle inşaat ve makine mühendisliğinde ) ve fizikte çok önemlidir .

Arka fon

Çekme ve basma gerilmeleri eğilme momenti ile orantılı olarak artar, ancak aynı zamanda bir kirişin enine kesitinin ikinci moment momentine (yani bir daire, kare veya I-kiriş gibi enine kesitin şekline bağlıdır) ortak yapısal şekiller). Bükülme momenti, tüm kesit boyunca malzemenin akma geriliminden daha büyük gerilme / sıkıştırıcı gerilmeleri indüklemek için yeterli olduğunda bükülmede başarısızlık meydana gelecektir . Yapısal analizde, bu bükülme arızasına plastik menteşe denir, çünkü yapısal elemanın tam yük taşıma kabiliyetine tam enine kesit akma gerilimini geçene kadar ulaşılmaz. Bir yapısal elemanın kaymadaki başarısızlığı eğilmeden önce meydana gelebilir, ancak makaslamadaki ve bükülmedeki göçme mekaniği farklıdır.

Momentler, dış vektör kuvvetlerinin (yükler veya reaksiyonlar) uygulandıkları vektör mesafesiyle çarpılmasıyla hesaplanır . Tüm bir elemanı analiz ederken, elemanın her iki ucunda, homojen olarak dağıtılmış yüklerin başında, ortasında ve sonunda ve doğrudan herhangi bir nokta yükünün altındaki momentleri hesaplamak mantıklıdır. Elbette bir yapı içindeki herhangi bir "pimli eklem" serbest dönüşe izin verir ve bu nedenle bir taraftan diğerine dönüş kuvvetlerini aktarmanın bir yolu olmadığından bu noktalarda sıfır moment oluşur.

Söz konusu noktanın soluna doğru saat yönünde bir bükülme momentinin pozitif olarak alındığı konvansiyonu kullanmak daha yaygındır. Bu, daha sonra, pozitif olduğunda, "merkezde daha düşük" olan, yani sarkmayı gösteren bir eğriliği gösteren bir fonksiyonun ikinci türevine karşılık gelir. Momentleri ve eğrilikleri bu şekilde tanımlarken, analiz eğimleri ve sapmaları bulmak için daha kolay kullanılabilir.

Kiriş içindeki kritik değerler en yaygın olarak bir eğilme momenti diyagramı kullanılarak açıklanır ; burada negatif momentler yatay bir çizginin üzerinde ve altında pozitif ölçeklenecek şekilde çizilir. Eğilme momenti, yüksüz bölümler üzerinde doğrusal olarak ve düzgün biçimde yüklenmiş bölümler üzerinde parabolik olarak değişir.

Eğilme momentlerinin hesaplanmasına ilişkin mühendislik açıklamaları, açıklanamayan işaret kuralları ve örtük varsayımlar nedeniyle kafa karıştırıcı olabilir. Aşağıdaki açıklamalar, ilk ilkelerden neden belirli işaret kurallarının seçildiğini açıklamak amacıyla kuvvet momentlerini ve eğilme momentlerini hesaplamak için vektör mekaniğini kullanır.

Kuvvet momentini hesaplamak

Pratik problemlerde eğilme momentlerini belirlemenin önemli bir kısmı kuvvet momentlerinin hesaplanmasıdır. Izin vermek bir cismin A noktasında hareket eden bir kuvvet vektörü olsun . Bu kuvvetin bir referans noktası ( O ) etrafındaki momenti şu şekilde tanımlanır: ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}}$

moment vektörü nerede ve referans noktasından ( O ) kuvvetin ( A ) uygulama noktasına kadar olan konum vektörüdür . Sembol arası ürünü göstermektedir. Birçok problem için, O referans noktasından geçen bir eksen etrafındaki kuvvet momentini hesaplamak daha uygundur . Eksen boyunca birim vektör ise , eksen etrafındaki kuvvet momenti şu şekilde tanımlanır: ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ times}$${\ displaystyle \ mathbf {e}}$

${\ displaystyle M = \ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {M} = \ mathbf {e} \ cdot (\ mathbf {r} \ times \ mathbf {F})}$

burada vektör, nokta ürünü göstermektedir. ${\ displaystyle \ cdot}$

Misal

Yandaki şekil, bir kuvvetin etki ettiği bir ışını göstermektedir . Koordinat sistemi üç birim vektör tarafından tanımlanmışsa , aşağıdakilere sahibiz ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x}, \ mathbf {e} _ {y}, \ mathbf {e} _ {z}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = 0 \, \ mathbf {e} _ {x} -F \, \ mathbf {e} _ {y} +0 \, \ mathbf {e} _ {z} \ quad { \ text {ve}} \ quad \ mathbf {r} = x \, \ mathbf {e} _ {x} +0 \, \ mathbf {e} _ {y} +0 \, \ mathbf {e} _ { z} \ ,.}$

Bu nedenle,

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ left | {\ begin {matrix} \ mathbf {e} _ {x} & \ mathbf {e} _ {y} & \ mathbf {e} _ {z} \\ x & 0 & 0 \\ 0 & -F & 0 \ end {matris}} \ right | = -Fx \, \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

Eksenle ilgili an o zaman ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {z}}$

${\ displaystyle M_ {z} = \ mathbf {e} _ {z} \ cdot \ mathbf {M} = -Fx \ ,.}$

İmza kuralları

Negatif değer, bir gövdeyi bir eksen etrafında saat yönünde döndürme eğiliminde olan bir momentin negatif bir işarete sahip olması gerektiğini gösterir . Bununla birlikte, gerçek işaret üç eksenin seçimine bağlıdır . Örneğin, sağ elini kullanan başka bir koordinat sistemi seçersek , ${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {x}, \ mathbf {e} _ {y}, \ mathbf {e} _ {z}}$${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {x} = \ mathbf {e} _ {x}, \ mathbf {E} _ {y} = - \ mathbf {e} _ {z}, \ mathbf {E} _ {z} = \ mathbf {e} _ {y}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = 0 \, \ mathbf {E} _ {x} +0 \, \ mathbf {E} _ {y} -F \, \ mathbf {E} _ {z} \ quad { \ text {ve}} \ quad \ mathbf {r} = x \, \ mathbf {E} _ {x} +0 \, \ mathbf {E} _ {y} +0 \, \ mathbf {E} _ { z} \ ,.}$

Sonra,

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} = \ left | {\ begin {matrix} \ mathbf {E} _ {x} & \ mathbf {E} _ {y} & \ mathbf {E} _ {z} \\ x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -F \ end {matris}} \ right | = Fx \, \ mathbf {E} _ {y} \ quad {\ text {ve}} \ dörtlü M_ {y} = \ mathbf {E} _ {y} \ cdot \ mathbf {M} = Fx \ ,.}$

Bu yeni eksen seçimi için, pozitif bir moment gövdeyi bir eksen etrafında saat yönünde döndürme eğilimindedir.

Eğilme momentinin hesaplanması

Sert bir gövdede veya kısıtlanmamış bir deforme olabilen gövdede, bir kuvvet momentinin uygulanması saf bir dönüşe neden olur. Ancak deforme olabilen bir cisim kısıtlanırsa, dış kuvvete tepki olarak iç kuvvetler geliştirir, böylece denge korunur. Aşağıdaki şekilde bir örnek gösterilmektedir. Bu iç kuvvetler vücutta lokal deformasyonlara neden olacaktır.

Denge için, iç kuvvet vektörlerinin toplamı, uygulanan dış kuvvetlerin toplamının negatifine eşittir ve iç kuvvetlerin oluşturduğu moment vektörlerinin toplamı, dış kuvvet momentinin negatifine eşittir. İç kuvvet ve moment vektörleri, sistemin toplam kuvveti (iç + dış) ve momenti (dış + iç) sıfır olacak şekilde yönlendirilir. İç moment vektörüne eğilme momenti denir .

Keyfi şekilli yapılarda gerilme durumlarını belirlemek için eğilme momentleri kullanılmış olsa da, hesaplanan gerilmelerin fiziksel yorumu sorunludur. Bununla birlikte, kirişlerdeki ve plakalardaki bükülme momentlerinin fiziksel yorumları, gerilimin yapısal elemanın bir enine kesitine neden olması nedeniyle basit bir yoruma sahiptir. Örneğin, şekildeki bir kirişte , x eksenine dik olan A kesitindeki gerilmelere bağlı eğilme momenti vektörü şu şekilde verilmiştir:

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x} = \ int _ {A} \ mathbf {r} \ times (\ sigma _ {xx} \ mathbf {e} _ {x} + \ sigma _ {xy} \ mathbf {e} _ {y} + \ sigma _ {xz} \ mathbf {e} _ {z}) \, dA \ quad {\ text {nerede}} \ quad \ mathbf {r} = y \, \ mathbf {e} _ {y} + z \, \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

Elimizdeki bu ifadeyi genişleterek,

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {x} = \ int _ {A} \ left (-y \ sigma _ {xx} \ mathbf {e} _ {z} + y \ sigma _ {xz} \ mathbf { e} _ {x} + z \ sigma _ {xx} \ mathbf {e} _ {y} -z \ sigma _ {xy} \ mathbf {e} _ {x} \ sağ) dA =: M_ {xx} \, \ mathbf {e} _ {x} + M_ {xy} \, \ mathbf {e} _ {y} + M_ {xz} \, \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

Eğilme momenti bileşenlerini şu şekilde tanımlıyoruz:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} M_ {xx} \\ M_ {xy} \\ M_ {xz} \ end {bmatrix}}: = \ int _ {A} {\ begin {bmatrix} y \ sigma _ { xz} -z \ sigma _ {xy} \\ z \ sigma _ {xx} \\ - y \ sigma _ {xx} \ end {bmatrix}} \, dA \ ,.}$

İç momentler, kirişin veya levhanın nötr eksenindeki bir başlangıç ​​noktası hakkında hesaplanır ve entegrasyon, kalınlık ( ) ile yapılır. ${\ displaystyle h}$

Misal

Yandaki şekilde gösterilen kirişte, dış kuvvetler A ( ) noktasında uygulanan kuvvet ve O ve B ( ve ) iki destek noktasındaki reaksiyonlardır . Bu durum için eğilme momentinin sıfır olmayan tek bileşeni ${\ displaystyle -F \ mathbf {e} _ {y}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {O} = R_ {O} \ mathbf {e} _ {y}}$${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {B} = R_ {B} \ mathbf {e} _ {y}}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {xz} = - \ sol [\ int _ {z} \ sol [\ int _ {0} ^ {h} y \, \ sigma _ {xx} \, dy \ sağ ] \, dz \ sağ] \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

kiriş yönündeki yükseklik nerede . Eksi işareti, işaret kuralını yerine getirmek için dahil edilmiştir. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle y}$

Hesaplamak için , iki bilinmeyen reaksiyonla bir denklem veren kuvvetleri dengeleyerek başlıyoruz, ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {xz}}$

${\ displaystyle R_ {O} + R_ {B} -F = 0 \ ,.}$

Her reaksiyonu elde etmek için ikinci bir denklem gereklidir. Herhangi bir X noktasıyla ilgili momentleri dengelemek bize için ve açısından çözmek için kullanabileceğimiz ikinci bir denklem verecektir . O noktası ile ilgili dengeleme yapmak en basit olanıdır, ancak noktayı göstermek için A noktasıyla dengeleyelim , yani ${\ displaystyle R_ {0}}$${\ displaystyle R_ {B}}$${\ displaystyle F}$

${\ displaystyle - \ mathbf {r} _ {A} \ times \ mathbf {R} _ {O} + (\ mathbf {r} _ {B} - \ mathbf {r} _ {A}) \ times \ mathbf {R} _ {B} = \ mathbf {0} \ ,.}$

Eğer kiriş uzunluğu, elimizdeki ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {A} = x_ {A} \ mathbf {e} _ {x} \ quad {\ text {ve}} \ quad \ mathbf {r} _ {B} = L \ mathbf {e} _ {x} \ ,.}$

Çapraz ürünleri değerlendirme:

${\ displaystyle \ sol | {\ başlar {matris} \ mathbf {e} _ {x} & \ mathbf {e} _ {y} & \ mathbf {e} _ {z} \\ - x_ {A} & 0 & 0 \ \ 0 & R_ {0} & 0 \ end {matris}} \ sağ | + \ sol | {\ begin {matris} \ mathbf {e} _ {x} & \ mathbf {e} _ {y} & \ mathbf {e} _ {z} \\ L-x_ {A} & 0 & 0 \\ 0 & R_ {B} & 0 \ end {matrix}} \ right | = -x_ {A} R_ {0} \, \ mathbf {e} _ {z} + (L-x_ {A}) R_ {B} \, \ mathbf {e} _ {z} = 0 \ ,.}$

Elimizdeki reaksiyonları çözersek

${\ displaystyle R_ {O} = \ sol (1 - {\ frac {x_ {A}} {L}} \ sağ) F \ quad {\ text {ve}} \ quad R_ {B} = {\ frac { x_ {A}} {L}} \, F \ ,.}$

Şimdi iç eğilme momenti elde etmek X biz nokta hakkında tüm anları toplamı X dolayı sağındaki tüm harici güçlere X (pozitif üzerinde yan) ve bu durumda sadece bir katkısı yoktur, ${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {xz} = (\ mathbf {r} _ {B} - \ mathbf {r} _ {X}) \ times \ mathbf {R} _ {B} = \ sol | { \ begin {matrix} \ mathbf {e} _ {x} & \ mathbf {e} _ {y} & \ mathbf {e} _ {z} \\ Lx & 0 & 0 \\ 0 & -R_ {B} & 0 \ end {matris }} \ right | = {\ frac {Fx_ {A}} {L}} (Lx) \, \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

Bu cevabı serbest cisim diyagramına ve ışının X noktasının solundaki kısmına bakarak kontrol edebiliriz ve bu dış kuvvetlerden kaynaklanan toplam moment

${\ displaystyle \ mathbf {M} = (\ mathbf {r} _ {A} - \ mathbf {r} _ {X}) \ times \ mathbf {F} + (- \ mathbf {r} _ {X}) \ times \ mathbf {R} _ {O} = \ left [(x_ {A} -x) \ mathbf {e} _ {x} \ right] \ times \ left (-F \ mathbf {e} _ {y } \ sağ) + \ left (-x \ mathbf {e} _ {x} \ sağ) \ times \ left (R_ {O} \ mathbf {e} _ {y} \ sağ) \ ,.}$

Çapraz ürünleri hesaplarsak,

${\ displaystyle \ mathbf {M} = \ sol | {\ begin {matrix} \ mathbf {e} _ {x} & \ mathbf {e} _ {y} & \ mathbf {e} _ {z} \\ x_ {A} -x & 0 & 0 \\ 0 & -F & 0 \ end {matris}} \ sağ | + \ left | {\ begin {matrix} \ mathbf {e} _ {x} & \ mathbf {e} _ {y} & \ mathbf {e} _ {z} \\ - x & 0 & 0 \\ 0 & R_ {0} & 0 \ end {matrix}} \ right | = F (x-x_ {A}) \, \ mathbf {e} _ {z} - R_ {0} x \, \ mathbf {e} _ {z} = - {\ frac {Fx_ {A}} {L}} (Lx) \, \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

Denge sayesinde, X'in solundaki dış kuvvetlerden kaynaklanan iç bükülme momenti , kirişin X'in sağındaki kısmı dikkate alınarak elde edilen iç dönme kuvveti ile tam olarak dengelenmelidir.

${\ displaystyle \ mathbf {M} + \ mathbf {M} _ {xz} = \ mathbf {0} \ ,.}$

bu açıkça durumdur.

İşaret kuralı

Yukarıdaki tartışmada, kirişin tepesi sıkıştırıldığında bükülme momentinin pozitif olduğu dolaylı olarak varsayılmıştır. Bu, kirişte doğrusal bir gerilme dağılımını düşünürsek ve ortaya çıkan eğilme momentini bulursak görülebilir. Kirişin tepesinin bir gerilimle sıkıştırılmasına izin verin ve kirişin dibinde bir gerilme olmasına izin verin . Sonra kirişteki gerilme dağılımı olur . Bu gerilimlerden kaynaklanan eğilme momenti ${\ displaystyle - \ sigma _ {0}}$${\ displaystyle \ sigma _ {0}}$${\ displaystyle \ sigma _ {xx} (y) = - y \ sigma _ {0}}$

${\ displaystyle M_ {xz} = - \ sol [\ int _ {z} \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} y \, (- y \ sigma _ {0}) \, dy \ , dz \ right] = \ sigma _ {0} \, I}$

burada bir atalet momenti uygulamasının enine kesitinin. Bu nedenle, kirişin tepesi sıkıştırıldığında bükülme momenti pozitiftir. ${\ displaystyle I}$

Birçok yazar, stres sonucunun şu şekilde tanımlandığı farklı bir konvansiyonu takip eder: ${\ displaystyle M_ {xz}}$

${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {xz} = \ sol [\ int _ {z} \ int _ {- h / 2} ^ {h / 2} y \, \ sigma _ {xx} \, dy \ , dz \ right] \ mathbf {e} _ {z} \ ,.}$

Bu durumda, pozitif eğilme momentleri, kirişin tepesinin gergin olduğu anlamına gelir. Tabii ki, tanımı en koordinat sistemi kullanılan bağlıdır. Yukarıdaki örneklerde üst, en büyük koordinatlı konumdur . ${\ displaystyle y}$

Ayrıca bakınız

• Burkulma
• Bir kirişin sapmasını içeren sapma
• Büküm anı
• Kayma ve moment diyagramları
• Stres sonuçları
• Alanın ilk anı
• Etki çizgisi
• Alanın ikinci anı
• Atalet alan momentlerinin listesi
• Kanat bükme kabartması

Referanslar

Dış bağlantılar

• Kirişler için gerilme sonuçları