Bükme - Bending

Bir serinin parçası
Süreklilik mekaniği
Kanunlar Konservasyon kitle İtme Enerji Eşitsizlikler Clausius – Duhem (entropi)
Katı mekanik Deformasyon Esneklik doğrusal Plastisite Hook kanunu Stres Sonlu şekil değiştirme Sonsuz küçük şekil değiştirme Uyumluluk Bükme İletişim mekaniği sürtünme Malzeme hatası teorisi Kırılma mekaniği
Akışkanlar mekaniği Sıvılar Statik   · Dinamik Arşimet prensibi   · Bernoulli prensibi Navier-Stokes denklemleri Poiseuille denklemi   · Pascal yasası Viskozite ( Newtonian   · Newtonian olmayan ) Yüzdürme   · Karıştırma   · Basınç Sıvılar Yüzey gerilimi Kılcal etki Gazlar Atmosfer Boyle Kanunu Charles yasası Gay-Lussac yasası Kombine gaz yasası Plazma
Reoloji Viskoelastisite Reometri Reometre Akıllı sıvılar Elektroreolojik Manyetoreolojik Ferrofluidler
Bilim insanları Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Newton Navier Noll Pascal stoklamak Truesdell
v t e

Olarak uygulanan mekanik , bükme (aynı zamanda esneme ) ince davranışı karakterize yapısal bir dış tabi elemanının yük elemanın uzunlamasına eksenine dik olarak uygulanan.

Yapısal elemanın, boyutlarından en az birinin, diğer ikisinin tipik olarak 1 / 10'u veya daha azı olmak üzere küçük bir fraksiyonu olacağı varsayılır. Uzunluk, genişlik ve kalınlıktan önemli ölçüde daha uzun olduğunda, elemana kiriş denir . Örneğin, elbise askısı üzerinde giysilerin ağırlığı altında sarkan bir klozet çubuğu , bükülme yaşayan kirişe bir örnektir. Öte yandan, bir kabuk , uzunluk ve genişliğin aynı büyüklükte olduğu ancak yapının kalınlığının ('duvar' olarak bilinir) önemli ölçüde daha küçük olduğu herhangi bir geometrik formda bir yapıdır. Uçlarında desteklenen ve yanlamasına yüklenen büyük çaplı, ancak ince duvarlı, kısa bir tüp, bükülme yaşayan bir kabuğun bir örneğidir.

Bir niteleyici olmadığında, bükülme terimi belirsizdir çünkü bükülme tüm nesnelerde yerel olarak meydana gelebilir. Bu nedenle, terimin kullanımını daha kesin hale getirmek için mühendisler aşağıdaki gibi belirli bir nesneye atıfta bulunur; çubuklarının bükülme , kirişlerin eğilme , plakaların eğilme , kabuklarının bükme bu kadar ve.

Kirişlerin yarı statik bükülmesi

Üzerine enine bir yük uygulandığında bir kiriş deforme olur ve içinde gerilmeler oluşur. Yarı statik durumda, eğilme sapması miktarı ve oluşan gerilmelerin zamanla değişmediği varsayılır. Uçlardan desteklenen ve ortadan aşağıya doğru yüklenen yatay bir kirişte, kirişin üst tarafındaki malzeme, alt taraftaki malzeme gerilirken sıkıştırılır. Yanal yüklerin neden olduğu iki tür iç gerilme vardır:

• Kesme gerilmesi yük yönüne dik düzlemler üzerinde yan yükleme artı tamamlayıcı kesme stresi paralel;
• Doğrudan sıkıştırma gerilmesi kirişin üst bölgesinde ve doğrudan çekme gerilimi kirişin alt bölgesinde.

Bu son iki kuvvet , büyüklük olarak eşit ve yön olarak zıt oldukları için bir çift veya an oluşturur . Bu eğilme momenti , eğilme yaşayan bir kirişin sarkma deformasyon karakteristiğine direnir. Bir kirişteki gerilme dağılımı, bazı basitleştirici varsayımlar kullanıldığında oldukça doğru bir şekilde tahmin edilebilir.

Euler-Bernoulli eğilme teorisi

In Euler-Bernoulli teorisi Narinlik ışınları, büyük bir varsayım 'düzlem bölümler düzlem kalır' olmasıdır. Diğer bir deyişle, kesit boyunca kaymadan kaynaklanan herhangi bir deformasyon hesaba katılmaz (kayma deformasyonu yok). Ayrıca, bu doğrusal dağılım yalnızca maksimum gerilim malzemenin akma geriliminden daha az olduğunda uygulanabilir . Verimi aşan gerilmeler için, plastik bükme makalesine bakın . Akma durumunda, kesitte ( kirişin nötr ekseninden en uzak noktalarda) yaşanan maksimum gerilim eğilme mukavemeti olarak tanımlanır .

Aşağıdakilerin doğru olduğu kirişleri düşünün:

• Işın orijinal olarak düz ve incedir ve herhangi bir incelme hafiftir
• Malzeme, izotropik (veya ortotropik ), doğrusal elastiktir ve herhangi bir kesit boyunca homojendir (ancak uzunluğu boyunca zorunlu değildir)
• Yalnızca küçük sapmalar dikkate alınır

Bu durumda, ışın sapmasını ( ) açıklayan denklem şu şekilde tahmin edilebilir: ${\ displaystyle w}$

${\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w (x)} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {M (x)} {E (x) I (x)}}}$

benimsemiĢtir yönü değiştirilmiş şeklinin ikinci türevi burada kendi eğriliği olarak yorumlanır, bir Young modülü , bir atalet momenti enine kesitinin ve kirişin iç eğilme anı. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle M}$

Ek olarak, kiriş uzunluğu boyunca homojen ise ve konik değilse (yani sabit kesit) ve uygulanan bir enine yük altında sapıyorsa , şu gösterilebilir: ${\ displaystyle q (x)}$

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {4} w (x)} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x)}$

Bu, kiriş bükme için Euler – Bernoulli denklemidir.

Kirişin yer değiştirmesi için bir çözüm elde edildikten sonra, kirişteki eğilme momenti ( ) ve kesme kuvveti ( ) bağıntılar kullanılarak hesaplanabilir. ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle M (x) = - EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} ~; ~~ Q (x) = {\ cfrac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} x}}.}$

Basit kiriş bükme genellikle Euler – Bernoulli kiriş denklemi ile analiz edilir. Basit eğilme teorisini kullanmanın koşulları şunlardır:

1. Kiriş saf bükülmeye maruz kalır . Bu, kesme kuvvetinin sıfır olduğu ve burulma veya eksenel yüklerin olmadığı anlamına gelir .
2. Malzeme izotropik (veya ortotropik ) ve homojendir .
3. Malzeme Hooke yasasına uyar (doğrusal olarak esnektir ve plastik olarak deforme olmaz).
4. Kiriş başlangıçta düzdür ve enine kesiti kiriş uzunluğu boyunca sabittir.
5. Kiriş, bükülme düzleminde bir simetri eksenine sahiptir.
6. Kirişin oranlar bükme yerine ezme, buruşma veya yana doğru göre başarısız olur şekildedir burkulma .
7. Kirişin enine kesitleri bükme sırasında düz kalır.

Eğilme yükleri altında kiriş ekseni yönünde basınç ve çekme kuvvetleri gelişir. Bu kuvvetler , kiriş üzerinde gerilmelere neden olur . Maksimum sıkıştırma gerilimi kirişin en üst kenarında bulunurken, maksimum gerilme gerilimi kirişin alt kenarında bulunur. Bu iki karşıt maksimum arasındaki gerilmeler doğrusal olarak değiştiğinden , bu nedenle, aralarında eğilme gerilmesinin olmadığı doğrusal yolda bir nokta vardır. Lokus bu nokta nötr eksenidir. Gerilmesiz bu alan ve düşük gerilimli bitişik alanlar nedeniyle, eğilmede tek tip kesitli kirişlerin kullanılması, kirişin tam kapasitesini, kirişin eşiğine gelene kadar kullanmadığından, bir yükü desteklemek için özellikle verimli bir araç değildir. çöküş. Geniş flanşlı kirişler ( I -kirişler ) ve kafes kirişler, bu yetersiz gerilimli bölgedeki malzeme miktarını en aza indirdiklerinden, bu verimsizliği etkili bir şekilde giderir .

Basit bükülme altında bir kirişteki bükülme gerilimini belirlemenin klasik formülü şöyledir:

${\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ frac {M_ {z} y} {I_ {z}}} = {\ frac {M_ {z}} {W_ {z}}}}$

nerede

• ${\ displaystyle {\ sigma _ {x}}}$ bükülme stresi
• ${\ displaystyle M_ {z}}$ - nötr eksenle ilgili an
• ${\ displaystyle y}$ - nötr eksene dik mesafe
• ${\ displaystyle I_ {z}}$ - nötr eksen z etrafındaki ikinci alan momenti .
• ${\ displaystyle W_ {z}}$ - nötr eksen z etrafındaki Direnç Momenti . ${\ displaystyle W_ {z} = I_ {z} / y}$

Euler-Bernoulli kiriş eğilme teorisinin uzantıları

Plastik bükme

Denklem , yalnızca uçtaki fiberdeki gerilim (yani, kirişin nötr eksenden en uzak kısmı) , inşa edildiği malzemenin sünme geriliminin altında olduğunda geçerlidir. Daha yüksek yüklemelerde, gerilim dağılımı doğrusal olmayan hale gelir ve sünek malzemeler, sonunda gerilimin büyüklüğünün kirişin her yerindeki akma gerilimine eşit olduğu plastik bir menteşe durumuna girecek ve nötr eksende gerilimin değiştiği yerde bir süreksizlik olacaktır. sıkıştırmaya karşı çekme. Bu plastik menteşe durumu tipik olarak çelik yapıların tasarımında bir sınır durum olarak kullanılır . ${\ displaystyle \ sigma = {\ tfrac {Benim} {I_ {x}}}}$

Karmaşık veya asimetrik bükülme

Yukarıdaki denklem yalnızca kesit simetrikse geçerlidir. Asimetrik kesitli homojen kirişler için kirişteki maksimum eğilme gerilmesi

${\ displaystyle \ sigma _ {x} (y, z) = - {\ frac {M_ {z} ~ I_ {y} + M_ {y} ~ I_ {yz}} {I_ {y} ~ I_ {z} -I_ {yz} ^ {2}}} y + {\ frac {M_ {y} ~ I_ {z} + M_ {z} ~ I_ {yz}} {I_ {y} ~ I_ {z} -I_ {yz } ^ {2}}} z}$

burada stres sağ tarafta gösterildiği gibi belirlenecek olan enine kesiti üzerinde bir nokta koordinatları, ve y ve z, eğilme momentleri olan kitle merkezi eksen, ve anlarında alanının ikinci momentleri (farklıdır atalet) y ve z eksenleri hakkında ve alan momentlerinin çarpımıdır . Bu denklemi kullanarak, moment oryantasyonu veya kesit şekline bakılmaksızın, kiriş kesiti üzerindeki herhangi bir noktada bükülme gerilimini hesaplamak mümkündür. Not kesit üzerinde bir noktadan değişmez. ${\ displaystyle y, z}$${\ displaystyle M_ {y}}$${\ displaystyle M_ {z}}$${\ displaystyle I_ {y}}$${\ displaystyle I_ {z}}$${\ displaystyle I_ {yz}}$${\ displaystyle M_ {y}, M_ {z}, I_ {y}, I_ {z}, I_ {yz}}$

Büyük eğilme deformasyonu

Vücudun büyük deformasyonları için, enine kesitteki gerilim, bu formülün genişletilmiş bir versiyonu kullanılarak hesaplanır. İlk önce aşağıdaki varsayımlar yapılmalıdır:

1. Düz bölümlerin varsayımı - deformasyondan önce ve sonra, gövdenin dikkate alınan bölümü düz kalır (yani, döndürülmez).
2. Bu bölümdeki normal kesit vektörüne dik olan kayma ve normal gerilmelerin, bu bölüme paralel olan normal gerilmeler üzerinde hiçbir etkisi yoktur.

Bükme yarıçapı on bölüm yüksekliğinden h daha küçük olduğunda büyük bükülme hususları uygulanmalıdır : ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle \ rho <10h.}$

Bu varsayımlarla, büyük bükülmedeki gerilme şu şekilde hesaplanır:

${\ displaystyle \ sigma = {\ frac {F} {A}} + {\ frac {M} {\ rho A}} + {\ frac {M} {{I_ {x}} '}} y {\ frac {\ rho} {\ rho + y}}}$

nerede

${\ displaystyle F}$ normal kuvvettir

${\ displaystyle A}$ bölüm alanı

${\ displaystyle M}$ bükülme anı

${\ displaystyle \ rho}$ yerel bükülme yarıçapıdır (mevcut bölümdeki bükülme yarıçapı)

${\ displaystyle {{I_ {x}} '}}$ boyunca eylemsizlik alan andır x -Axis de, yerinde (bkz Steiner'in teoremini ) ${\ displaystyle y}$

${\ displaystyle y}$ stresin hesaplandığı kesit alanındaki y ekseni boyunca konumdur . ${\ displaystyle \ sigma}$

Bükme yarıçapı sonsuza yaklaştığında ve orijinal formül geri gelir: ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle y \ rho}$

${\ displaystyle \ sigma = {F \ A üzerinde} \ pm {\ frac {Benim} {I}}}$ .

Timoshenko eğilme teorisi

1921'de Timoshenko , makaslama etkisini kiriş denklemine ekleyerek Euler-Bernoulli kiriş teorisini geliştirdi. Timoşenko teorisinin kinematik varsayımları şunlardır:

• kirişin eksenindeki normaller deformasyondan sonra düz kalır
• Deformasyondan sonra kiriş kalınlığında değişiklik olmaz

Bununla birlikte, eksene olan normallerin deformasyondan sonra eksene dik kalması gerekli değildir.

Bu varsayımlar altında, sabit kesitli kirişin doğrusal elastik, izotropik, homojen bir kirişinin yarı statik bükülmesinin denklemi şöyledir:

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {4} w} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x) - {\ cfrac {EI} {kAG}} ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} x ^ {2}}}}$

burada bir atalet momenti enine kesitinin, enine kesitsel alan, bir kesme modülü , a, kesilme düzeltme faktörü ve uygulanan bir çapraz yüktür. Poisson oranları ( ) 0.3'e yakın olan malzemeler için, dikdörtgen bir enine kesit için kayma düzeltme faktörü yaklaşık olarak ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle q (x)}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle k = {\ cfrac {5 + 5 \ nu} {6 + 5 \ nu}}}$

Normalin dönüşü ( ) denklem ile tanımlanır ${\ displaystyle \ varphi (x)}$

${\ displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} x}} = - {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w} {\ mathrm {d} x ^ { 2}}} - {\ cfrac {q (x)} {kAG}}}$

Eğilme momenti ( ) ve kesme kuvveti ( ) şu şekilde verilir: ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Q}$

${\ displaystyle M (x) = - EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} x}} ~; ~~ Q (x) = kAG \ sol ({\ cfrac {\ mathrm {d} w} {\ mathrm {d} x}} - \ varphi \ right) = - EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} \ varphi} {\ mathrm {d} x ^ { 2}}} = {\ cfrac {\ mathrm {d} M} {\ mathrm {d} x}}}$

Elastik temeller üzerindeki kirişler

Euler – Bernoulli, Timoshenko veya diğer eğilme teorilerine göre elastik temeller üzerindeki kirişler açıklanabilir. Ray rayları, bina ve makinelerin temeli, su üzerindeki gemiler, bitki kökleri vb. Bazı uygulamalarda, yüklere maruz kalan kiriş sürekli elastik temeller üzerinde desteklenir (yani, dış yüklemeye bağlı sürekli reaksiyonlar, Işın)

Kirişlerin dinamik bükülmesi

Kirişlerin eğilme titreşimleri olarak da bilinen kirişlerin dinamik bükülmesi , ilk olarak 18. yüzyılın sonlarında Daniel Bernoulli tarafından araştırıldı . Bernoulli'nin titreşen bir ışının hareket denklemi, ışınların doğal frekanslarını fazla tahmin etme eğilimindeydi ve 1877'de Rayleigh tarafından orta düzlem rotasyonunun eklenmesiyle marjinal olarak iyileştirildi . 1921'de Stephen Timoshenko , makasın bükülen kirişlerin dinamik tepkisi üzerindeki etkisini dahil ederek teoriyi daha da geliştirdi. Bu, teorinin dinamik Euler-Bernoulli teorisinin yetersiz olduğu yüksek titreşim frekansları içeren problemler için kullanılmasına izin verdi. Euler-Bernoulli ve Timoshenko'nun kirişlerin dinamik eğilmesi teorileri mühendisler tarafından yaygın olarak kullanılmaya devam ediyor.

Euler-Bernoulli teorisi

Uygulanan bir enine yük altında sabit bir enine kesite sahip, ince, izotropik, homojen bir kirişlerin eğilme dinamik Euler-Bernoulli denklemi olan ${\ displaystyle q (x, t)}$

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ kısmi ^ {4} w} {\ kısmi x ^ {4}}} + m ~ {\ cfrac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi t ^ {2} }} = q (x, t)}$

Young modülü nerede , enine kesitin alan atalet momentidir , kirişin nötr ekseninin sapmasıdır ve kirişin birim uzunluğu başına kütledir. ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle w (x, t)}$${\ displaystyle m}$

Serbest titreşimler

Kiriş üzerinde enine yükün olmadığı durumlarda eğilme denklemi şeklini alır.

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ kısmi ^ {4} w} {\ kısmi x ^ {4}}} + m ~ {\ cfrac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi t ^ {2} }} = 0}$

Kirişin serbest, harmonik titreşimleri daha sonra şu şekilde ifade edilebilir:

${\ displaystyle w (x, t) = {\ text {Re}} [{\ hat {w}} (x) ~ e ^ {- i \ omega t}] \ quad \, \ quad {\ cfrac {\ anlamına gelir kısmi ^ {2} w} {\ kısmi t ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} ~ w (x, t)}$

ve bükülme denklemi şu şekilde yazılabilir:

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {4} {\ hat {w}}} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} - m \ omega ^ {2} {\ hat {w}} = 0}$

Yukarıdaki denklemin genel çözümü şöyledir:

${\ displaystyle {\ hat {w}} = A_ {1} \ cosh (\ beta x) + A_ {2} \ sinh (\ beta x) + A_ {3} \ cos (\ beta x) + A_ {4 } \ sin (\ beta x)}$

sabitler nerede ve ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}}$${\ displaystyle \ beta: = \ sol ({\ cfrac {m} {EI}} ~ \ omega ^ {2} \ sağ) ^ {1/4}}$

Dirsekli bir I- kirişinin mod şekilleri
1. yanal bükülme	1. burulma	1. dikey bükme
2. yanal bükme	2. burulma	2. dikey bükme

Timoshenko-Rayleigh teorisi

1877'de Rayleigh, dinamik Euler-Bernoulli kiriş teorisinde, kirişin enine kesitinin dönme ataletinin etkisini dahil ederek bir iyileştirme önerdi. Timoshenko, 1922'de makaslama etkisini kiriş denklemine ekleyerek bu teoriyi geliştirdi. Kirişin orta yüzeyine normalin kayma deformasyonlarına Timoshenko-Rayleigh teorisinde izin verilir.

Bu varsayımlar altında doğrusal elastik, izotropik, sabit kesitli homojen bir kirişin bükülmesinin denklemi şöyledir:

${\ displaystyle {\ begin {align} & EI ~ {\ frac {\ kısmi ^ {4} w} {\ kısmi x ^ {4}}} + m ~ {\ frac {\ kısmi ^ {2} w} {\ kısmi t ^ {2}}} - \ left (J + {\ frac {EIm} {kAG}} \ right) {\ frac {\ kısmi ^ {4} w} {\ kısmi x ^ {2} ~ \ kısmi t ^ {2}}} + {\ frac {Jm} {kAG}} ~ {\ frac {\ kısmi ^ {4} w} {\ kısmi t ^ {4}}} \\ [6pt] = {} & q ( x, t) + {\ frac {J} {kAG}} ~ {\ frac {\ kısmi ^ {2} q} {\ kısmi t ^ {2}}} - {\ frac {EI} {kAG}} ~ {\ frac {\ kısmi ^ {2} q} {\ kısmi x ^ {2}}} \ uç {hizalı}}}$

burada bir polar atalet momenti enine kesitinin, kirişin birim uzunluk başına kütle olup , kiriş yoğunluğudur enine kesit alanıdır, kesme modülü ve a, kesilme düzeltme faktörü . Poisson oranları ( ) 0.3'e yakın olan malzemeler için, kayma düzeltme faktörü yaklaşık olarak ${\ displaystyle J = {\ tfrac {mI} {A}}}$${\ displaystyle m = \ rho A}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle {\ begin {align} k & = {\ frac {5 + 5 \ nu} {6 + 5 \ nu}} \ quad {\ text {dikdörtgen kesit}} \\ [6pt] & = {\ frac {6 + 12 \ nu +6 \ nu ^ {2}} {7 + 12 \ nu +4 \ nu ^ {2}}} \ quad {\ text {dairesel kesit}} \ end {hizalı}} }$

Serbest titreşimler

Ücretsiz harmonik titreşimler için Timoshenko-Rayleigh denklemleri şu şekildedir:

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {4} {\ hat {w}}} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} + m \ omega ^ {2} \ sol ( {\ cfrac {J} {m}} + {\ cfrac {EI} {kAG}} \ right) {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} {\ hat {w}}} {\ mathrm {d } x ^ {2}}} + m \ omega ^ {2} \ left ({\ cfrac {\ omega ^ {2} J} {kAG}} - 1 \ right) ~ {\ hat {w}} = 0 }$

Bu denklem, tüm türevlerinin iptal etmek için aynı forma sahip olması gerektiğine ve dolayısıyla formun çözümünün beklenebileceğine dikkat edilerek çözülebilir . Bu gözlem, karakteristik denkleme yol açar ${\ displaystyle w}$${\ displaystyle e ^ {kx}}$

${\ displaystyle \ alpha ~ k ^ {4} + \ beta ~ k ^ {2} + \ gamma = 0 ~; ~~ \ alpha: = EI ~, ~~ \ beta: = m \ omega ^ {2} \ left ({\ cfrac {J} {m}} + {\ cfrac {EI} {kAG}} \ right) ~, ~~ \ gamma: = m \ omega ^ {2} \ left ({\ cfrac {\ omega ^ {2} J} {kAG}} - 1 \ sağ)}$

Bu çözeltileri quartic denklemi olan

${\ displaystyle k_ {1} = + {\ sqrt {z _ {+}}} ~, ~~ k_ {2} = - {\ sqrt {z _ {+}}} ~, ~~ k_ {3} = + { \ sqrt {z _ {-}}} ~, ~~ k_ {4} = - {\ sqrt {z _ {-}}}}$

nerede

${\ displaystyle z _ {+}: = {\ cfrac {- \ beta + {\ sqrt {\ beta ^ {2} -4 \ alpha \ gamma}}} {2 \ alpha}} ~, ~~ z _ {-} : = {\ cfrac {- \ beta - {\ sqrt {\ beta ^ {2} -4 \ alpha \ gamma}}} {2 \ alpha}}}$

Serbest titreşimler için Timoshenko-Rayleigh ışın denkleminin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

${\ displaystyle {\ hat {w}} = A_ {1} ~ e ^ {k_ {1} x} + A_ {2} ~ e ^ {- k_ {1} x} + A_ {3} ~ e ^ { k_ {3} x} + A_ {4} ~ e ^ {- k_ {3} x}}$

Plakaların kuasistatik bükülmesi

Kirişlerin tanımlayıcı özelliği, boyutlardan birinin diğer ikisinden çok daha büyük olmasıdır . Bir yapı, düz olduğunda ve boyutlarından biri diğer ikisinden çok daha küçük olduğunda plaka olarak adlandırılır . İkisi yaygın olarak kullanılan uygulanan yükler altında bir plakadaki deformasyonu ve gerilimi açıklamaya çalışan birkaç teori vardır. Bunlar

• Kirchhoff-Aşk plakaları teorisi (klasik plaka teorisi olarak da adlandırılır)
• Mindlin-Reissner plaka teorisi (plakaların birinci dereceden kayma teorisi olarak da adlandırılır)

Kirchhoff-plakaların aşk teorisi

Kirchhoff-Aşk teorisinin varsayımları şöyledir:

• orta yüzeye normal düz çizgiler deformasyondan sonra düz kalır
• orta yüzeye normal düz çizgiler deformasyondan sonra orta yüzeye normal kalır
• Bir deformasyon sırasında plakanın kalınlığı değişmez.

Bu varsayımlar şunu ima eder:

${\ displaystyle {\ begin {align} u _ {\ alpha} (\ mathbf {x}) & = - x_ {3} ~ {\ frac {\ kısmi w ^ {0}} {\ kısmi x _ {\ alpha}} } = - x_ {3} ~ w _ {, \ alpha} ^ {0} ~; ~~ \ alpha = 1,2 \\ u_ {3} (\ mathbf {x}) & = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) \ end {hizalı}}}$

nerede plakadaki bir noktanın yer değiştirmesi ve orta yüzeyin yer değiştirmesidir. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle w ^ {0}}$

Şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkileri

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} & = - x_ {3} ~ w _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} \\\ varepsilon _ {\ alpha 3} & = 0 \\\ varepsilon _ {33} & = 0 \ end {hizalı}}}$

Denge denklemleri

${\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} + q (x) = 0 ~; ~~ M _ {\ alpha \ beta}: = \ int _ {- h} ^ {h} x_ {3} ~ \ sigma _ {\ alpha \ beta} ~ dx_ {3}}$

plaka yüzeyine normal olarak uygulanan bir yük nerede . ${\ displaystyle q (x)}$

Yer değiştirmeler açısından, izotropik, doğrusal elastik bir plaka için dış yükün olmadığı denge denklemleri şöyle yazılabilir:

${\ displaystyle w _ {, 1111} ^ {0} + 2 ~ w _ {, 1212} ^ {0} + w _ {, 2222} ^ {0} = 0}$

Doğrudan tensör gösteriminde,

${\ displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = 0}$

Mindlin-Reissner plakaların teorisi

Bu teorinin özel varsayımı, orta yüzeydeki normallerin düz ve uzayamaz kaldığı, ancak deformasyondan sonra orta yüzeye mutlaka normal olmadığıdır. Plakanın yer değiştirmeleri şu şekilde verilmiştir:

${\ displaystyle {\ begin {align} u _ {\ alpha} (\ mathbf {x}) & = - x_ {3} ~ \ varphi _ {\ alpha} ~; ~~ \ alpha = 1,2 \\ u_ { 3} (\ mathbf {x}) & = w ^ {0} (x_ {1}, x_ {2}) \ end {hizalı}}}$

normalin dönüşleri nerede . ${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha}}$

Bu varsayımlardan kaynaklanan şekil değiştirme-yer değiştirme ilişkileri şu şekildedir:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varepsilon _ {\ alpha \ beta} & = - x_ {3} ~ \ varphi _ {\ alpha, \ beta} \\\ varepsilon _ {\ alpha 3} & = {\ cfrac {1} {2}} ~ \ kappa \ left (w _ {, \ alpha} ^ {0} - \ varphi _ {\ alpha} \ right) \\\ varepsilon _ {33} & = 0 \ end {hizalı }}}$

kesme düzeltme faktörü nerede . ${\ displaystyle \ kappa}$

Denge denklemleri

${\ displaystyle {\ begin {align} & M _ {\ alpha \ beta, \ beta} -Q _ {\ alpha} = 0 \\ & Q _ {\ alpha, \ alpha} + q = 0 \ end {hizalı}}}$

nerede

${\ displaystyle Q _ {\ alpha}: = \ kappa ~ \ int _ {- h} ^ {h} \ sigma _ {\ alpha 3} ~ dx_ {3}}$

Plakaların dinamik bükülmesi

İnce Kirchhoff plakalarının dinamiği

Plakaların dinamik teorisi, plakalardaki dalgaların yayılmasını ve duran dalgaların ve titreşim modlarının incelenmesini belirler. Kirchhoff plakalarının dinamik bükülmesini yöneten denklemler

${\ displaystyle M _ {\ alpha \ beta, \ alpha \ beta} -q (x, t) = J_ {1} ~ {\ ddot {w}} ^ {0} -J_ {3} ~ {\ ddot {w }} _ {, \ alpha \ alpha} ^ {0}}$

nerede, yoğunluğa sahip bir plaka için , ${\ displaystyle \ rho = \ rho (x)}$

${\ displaystyle J_ {1}: = \ int _ {- h} ^ {h} \ rho ~ dx_ {3} ~; ~~ J_ {3}: = \ int _ {- h} ^ {h} x_ { 3} ^ {2} ~ \ rho ~ dx_ {3}}$

ve

${\ displaystyle {\ ddot {w}} ^ {0} = {\ frac {\ kısmi ^ {2} w ^ {0}} {\ kısmi t ^ {2}}} ~; ~~ {\ ddot {w }} _ {, \ alpha \ beta} ^ {0} = {\ frac {\ kısmi ^ {2} {\ ddot {w}} ^ {0}} {\ kısmi x _ {\ alpha} \, \ kısmi x_ {\ beta}}}}$

Aşağıdaki şekiller, dairesel bir plakanın bazı titreşim modlarını göstermektedir.

• 

  mod k = 0, p = 1

• 

  mod k = 0, p = 2

• 

  mod k = 1, p = 2

Ayrıca bakınız

• Bükülme anı
• Bükme Makinesi (düz metal bükme)
• Fren (sac bükme)
• Mangal etkisi
• Plakaların bükülmesi
• Bükme (metal işleme)
• Süreklilik mekaniği
• Kontraflexure
• Sapma (mühendislik)
• Eğilme yatağı
• Atalet alan momentlerinin listesi
• Kayma ve moment diyagramı
• Kesme dayanımı
• Sandviç teorisi
• Titreşim
• Plakaların titreşimi

Referanslar

Dış bağlantılar

• Eğme formülleri
• Kiriş gerilimi ve sapması, kiriş saptırma tabloları