Temel (doğrusal cebir) - Basis (linear algebra)

Aynı vektör iki farklı bazda (mor ve kırmızı oklar) temsil edilebilir.

Gelen matematik , bir dizi B bir vektörlerin vektör uzayı V denen baz her eleman ise V sonlu olarak benzersiz bir şekilde yazılabilir lineer kombinasyonu elemanlarının B . Bu lineer kombinasyonun katsayıları, B'ye göre vektörün bileşenleri veya koordinatları olarak adlandırılır . Bir tabanı oluşturan unsurlara denir. temel vektörler .

Eşdeğer olarak, bir B kümesi , elemanları lineer olarak bağımsızsa ve V'nin her elemanı B elemanlarının lineer bir birleşimiyse bir temeldir . Başka bir deyişle, bir temel, doğrusal olarak bağımsız bir kapsayan kümedir .

Bir vektör uzayının birkaç tabanı olabilir; ancak tüm tabanlar , vektör uzayının boyutu olarak adlandırılan aynı sayıda elemana sahiptir .

Bu makale esas olarak sonlu boyutlu vektör uzayları ile ilgilidir. Ancak ilkelerin çoğu sonsuz boyutlu vektör uzayları için de geçerlidir.

Tanım

Bir baz B a vektör uzayı V bir fazla alan F (örneğin gerçek sayılar R veya karmaşık sayılar ) a, lineer bağımsız alt kümesi arasında V bu açıklıkları V . Bir alt bu araçlar B arasında V bir temeli olan bu tatmin aşağıdaki iki koşularda:

  • Lineer bağımsızlık özelliği:
    Her için sonlu alt kümesi içinde B , eğer bazıları için de F , daha sonra ; ve
  • kapsayan özelliği:
    ve her bir vektör için v içinde V , bir seçebilir olarak F ve de B şekildedir .

Skalerler vektör koordinatlarını denir v baz ile ilgili olarak B ve birinci özelliği ile benzersiz biçimde belirlenir.

Sonlu bir temeli olan bir vektör uzayına sonlu boyutlu denir . Bu durumda, yukarıdaki tanımda lineer bağımsızlığı kontrol etmek için sonlu altküme B'nin kendisi olarak alınabilir .

Örneğin oryantasyon tartışılırken veya bir tabana göre bir vektörün skaler katsayıları açıkça temel elemanlara atıfta bulunmadan düşünüldüğünde, vektörler bazında bir sıralamaya sahip olmak genellikle uygundur ve hatta gereklidir . Bu durumda, her katsayıyı karşılık gelen temel elemanla ilişkilendirmek için sıralama gereklidir. Bu sıralama, temel elemanlar numaralandırılarak yapılabilir. Bir sıranın seçildiğini vurgulamak için , bu nedenle basit bir yapılandırılmamış küme değil, bir dizi , dizine alınmış bir aile veya benzeri olan sıralı bir temelden söz edilir ; bkz . aşağıdaki § Sıralı tabanlar ve koordinatlar .

Örnekler

Bu resim , R 2'deki standart temeli göstermektedir . Mavi ve turuncu vektörler temelin unsurlarıdır; yeşil vektör, temel vektörler cinsinden verilebilir ve dolayısıyla onlara lineer olarak bağlıdır .
  • Grubu R ' 2 arasında sıralı çiftleri arasında gerçek sayılar , aşağıdaki özelliklerin bir vektör alanıdır:
    bileşen bazında ekleme
    ve skaler çarpma
    herhangi bir gerçek sayı nerede . Adı verilen bu vektör alanı, basit bir temel standart baz iki vektörün oluşur e 1 = (1,0) ve e 2 = (0,1) herhangi bir vektör, çünkü, v = ( a , b ) arasında R 2 Mayıs benzersiz olarak yazılmalıdır
    Bir lineer bağımsız vektörlerin başka bir çifti , R 2 gibi, (1, 1) ve (1, 2) , aynı zamanda, form bir temel R 2 .
  • Eğer Daha genel olarak, F a, alan , resim ve n -tuples elemanlarının F , benzer şekilde tanımlanır ilavesi ve skalar çarpım için bir vektör alanıdır. İzin vermek
    olabilir , n tüm bileşenler hariç, 0 eşit olan -tuple i Daha sonra 1 olduğu th, bir baz olan denir
    standart baz arasında
  • Eğer E bir alan, bir çok terimli bir halka F : [ X ] bir polinom bir de belirsiz bir olan K -vector alan ve bir baz olan B olarak adlandırılan, monomial baz tüm oluşan monomials :
    Her dereceden tam olarak bir polinom olacak şekilde herhangi bir polinom seti de bir bazdır. Böyle bir polinom dizisine polinom dizisi denir . Bu tür polinom dizilerinin örnekleri (birçokları arasında), Bernstein temelli polinomlar ve Chebyshev polinomlarıdır .

Özellikler

Sonlu bazların birçok özellikleri sonucu Steiniz'in değişimi lemma herhangi bir vektör alanı için, bildiren, V sonlu verilen grubu kapsayan S ve lineer bağımsız grubu L ve n unsurları V , bir yer değiştirebilir , n arasında iyi seçilmiş elemanları S elemanları ile L ihtiva eden bir kapsayan bir dizi elde etmek için L olarak diğer elemanları olan, S , ve benzeri gibi elemanlar aynı sayıda sahip olan S .

Steinitz değişim lemmasından kaynaklanan çoğu özellik, sonlu bir yayılma kümesi olmadığında doğru kalır, ancak sonsuz durumdaki kanıtları genellikle seçim aksiyomunu veya ultrafiltre lemması gibi daha zayıf bir biçimini gerektirir .

Eğer V alanı üzerinde bir vektör alanıdır F , o zaman:

  • Eğer L bir kapsayan kümesinin bir lineer bağımsız alt kümesi SV , daha sonra bir taban vardır B şekildedir
  • V'nin bir temeli vardır (bu, L' nin boş küme olduğu ve S = V olduğu önceki özelliktir ).
  • Her bazlar V aynı olması önem düzeyi olarak adlandırılır, boyut ve V . Bu boyut teoremidir .
  • Bir jeneratör grubu S bir temeli olan V ve küçük olması halinde ancak olduğunu, bir varsa uygun bir alt kümesi arasında S da bir jeneratör olup V .
  • Doğrusal olarak bağımsız bir L kümesi , ancak ve ancak maksimum ise, yani herhangi bir doğrusal bağımsız kümenin uygun bir alt kümesi değilse bir temeldir.

Eğer V boyutu bir vektör alanıdır n , daha sonra:

  • Bir alt kümesi V ile N elemanları, doğrusal bağımsızdır, ancak ve ancak bir temelidir.
  • Bir alt kümesi, V ile n o kümesini kapsayan ancak ve ancak, eğer elemanları bir temeli olan V .

koordinatlar

V , bir F alanı üzerinde n sonlu boyutlu bir vektör uzayı olsun ve

V'nin temeli olsun . Bir temelin tanımı gereği, V'deki her v , benzersiz bir şekilde şu şekilde yazılabilir:

katsayıları burada skalerler olan (arasında, elemanlar olduğu F denir) koordinatları arasında v fazla B . Bununla birlikte, katsayılar kümesinden söz edilirse , katsayılar ve temel öğeler arasındaki karşılıklılık kaybolur ve birkaç vektör aynı katsayı kümesine sahip olabilir . Örneğin ve {2, 3} katsayıları aynı kümeye sahiptir ve farklıdır. Bu nedenle, düzenli bir temelde çalışmak genellikle uygundur ; bu, tipik olarak , temel öğelerin ilk doğal sayılarla endekslenmesiyle yapılır . Daha sonra, bir vektörün koordinatları benzer şekilde indekslenmiş bir dizi oluşturur ve bir vektör tamamen koordinat dizisi ile karakterize edilir. Sıralı bir temel, koordinatları tanımlamaya izin veren bir veri dizisine atıfta bulunmak için çeşitli bağlamlarda yaygın olarak kullanılan bir kelime olan çerçeve olarak da adlandırılır .

Her zamanki gibi, Let kümesi olsun n -tuples unsurlarının F . Bu küme, bileşen bazında tanımlanan toplama ve skaler çarpma ile bir F -vektör uzayıdır. Harita

a, doğrusal izomorfizm vektör boşluğundan üzerine V . Diğer bir deyişle, bir koordinat alan bir V ve n, -tuple olan koordinat vektör arasında v .

Ters görüntü ile arasında olduğu , n -tuple dışında olan bileşenlerdir 0 her i 1 olduğunu inci şekilde sıralı bir baz olarak adlandırılan, standart bir temel ya da standart temel . Sıralı temel B , kanonik temelin by görüntüsüdür .

Her sipariş temeli kurallı temelinde bir doğrusal eşbiçimlilik görüntü bu ne ilerlettiği izler , ve her doğrusal izomorfizm o üzerine V kanonik temelini eşler eşbiçimlilikle tanımlanabilir arasında üzerine verilen bir sipariş bazında V . Diğer bir deyişle, bir sıralı temeli tanımlamak eşdeğerdir V ya da doğrusal bir izomorfizm üzerine V .

Temel değişikliği

V , bir F alanı üzerinde n boyutlu bir vektör uzayı olsun . İki (sıralı) bazları verilen ve bir V , bir vektör koordinatlarını ifade etmek genellikle yararlıdır x göre göre koordinatlar cinsinden yapılabilir Bu değiştirme bölgesinin bazında formül aşağıda tarif edilmektedir, . O başvurmak için alışılmış olduğu için "eski" ve "yeni" indisler seçilmiştir ve sıra eski bazında ve yeni bazda sırasıyla. Yenileri açısından eski koordinatları tanımlamak için yararlıdır, çünkü genel olarak birine sahiptir ifadeleri eski koordinatları kapsayan ve bir yeni koordinatlar cinsinden eşdeğer ifadeler elde etmek istiyorsa; bu, eski koordinatların yeni koordinatlar cinsinden ifadeleriyle değiştirilmesiyle elde edilir.

Tipik olarak, yeni temel vektörler eski esas üzerinden koordinatlarıyla verilir, yani,

Eğer ve bir vektör koordinatları x eski ve sırasıyla yeni bir temel üzerinde, değiştirme bölgesinin bazında formülü

için i = 1, …, n .

Bu formül kısaca matris notasyonunda yazılabilir. Let bir matris olabilir , ve

olmak kolon vektörleri koordinatlarının v sırasıyla eski ve yeni bazında, o zaman değişen koordinatları için formül

Formül, x vektörünün iki tabanda ayrıştırılması dikkate alınarak kanıtlanabilir :

ve

O halde, temel değiştirme formülü, bir vektörün bir taban üzerinde ayrışımının benzersizliğinden kaynaklanır, burada ; yani

için i = 1, …, n .

İlgili kavramlar

Ücretsiz modül

Bir vektör uzayının tanımında meydana gelen alan bir halka ile değiştirilirse , bir modül tanımı elde edilir . Modüller için, doğrusal bağımsızlık ve yayılan kümeler , tam olarak vektör uzayları için olduğu gibi tanımlanır, ancak " üreten küme ", "yayılan küme"den daha yaygın olarak kullanılır.

Vektör uzayları için olduğu gibi , bir modülün temeli , aynı zamanda bir üretici küme olan lineer olarak bağımsız bir alt kümedir. Vektör uzayları teorisindeki en büyük fark, her modülün bir temeli olmamasıdır. Temeli olan bir modüle serbest modül denir . Serbest modüller, özgür olmayan modüllerin yapısını serbest çözünürlükler yoluyla tanımlamak için kullanılabildikleri için modül teorisinde temel bir rol oynarlar .

Tamsayılar üzerindeki bir modül, bir değişmeli grupla tamamen aynı şeydir . Böylece tamsayılar üzerinde serbest bir modül aynı zamanda serbest bir değişmeli gruptur. Serbest değişmeli gruplar, modüller tarafından diğer halkalar üzerinde paylaşılmayan belirli özelliklere sahiptir. Spesifik olarak, bir serbest değişmeli grubun her alt grubu bir serbest değişmeli gruptur ve eğer G , sonlu olarak oluşturulmuş bir serbest değişmeli grup H'nin (bu, sonlu bir temeli olan bir değişmeli gruptur) bir alt grubuysa , H'nin bir temeli vardır ve arasında bir tamsayıdır , 0 ≤ kn böyle bir temeli olan G bir sıfırdan farklı tamsayılar için, . Ayrıntılar için, bkz. Serbest değişmeli grup § Alt gruplar .

analiz

Gerçek veya karmaşık sayılar üzerinde sonsuz boyutlu vektör uzayları bağlamında, terim Hamel temeli (Georg Hamel'densonra adlandırılmıştır) veyacebirsel temel, bu makalede tanımlanan bir temele atıfta bulunmak için kullanılabilir. Bu, sonsuz boyutlu vektör uzaylarına fazladan yapı verildiğinde var olan diğer "temel" kavramlarıyla bir ayrım yapmak içindir. En önemli alternatiflerHilbert uzaylarıüzerindekiortogonal tabanlar,Schauder tabanlarıvenormlu lineer uzaylarüzerindekiMarkushevich tabanlarıdır. Gerçek sayılar halindeolan Ralanı üzerinde bir vektör alanı olarak incelediQrasyonel sayılar, Hamel bazlar sayılamaz, ve özellikle sahipönem düzeyiolan süreklilik, birana sayısı,küçük sonsuz kardinal, kardinal tamsayılardan.

Diğer kavramların ortak özelliği, uzayı oluşturmak için temel vektörlerin sonsuz lineer kombinasyonlarının alınmasına izin vermeleridir. Bu, elbette, topolojik vektör uzaylarında olduğu gibi, bu uzaylarda sonsuz toplamların anlamlı bir şekilde tanımlanmasını gerektirir – örneğin Hilbert uzayları , Banach uzayları veya Fréchet uzayları dahil olmak üzere geniş bir vektör uzayları sınıfı .

Sonsuz boyutlu alanlar için bazların diğer tip tercih Hamel baz Banach mekanlarda "çok büyük" olur gerçeği ile haklı: Eğer X, bir sonsuz boyutlu normlu vektör alanıdır tam yani ( X, a, Banach alanı ), o zaman X'in herhangi bir Hamel tabanı zorunlu olarak sayılmaz . Bu, Baire kategori teoreminin bir sonucudur . Tamlık ve sonsuz boyut, önceki iddiadaki önemli varsayımlardır. Gerçekten de, sonlu boyutlu uzayların tanımları gereği sonlu tabanları vardır ve sayılabilir Hamel tabanlarına sahip sonsuz boyutlu ( tam olmayan ) normlu uzaylar vardır. Düşünün , uzay dizileri norm ile, sadece sonlu sayıda sıfır olmayan unsurlara sahip gerçek sayılar . Bu standart baz , 1 'e eşit olan tek bir sıfır olmayan elemanına sahip dizilerinden oluşan bir sayılabilir Hamel temelidir.

Örnek

Fourier serilerinin çalışmasında, {1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, … } fonksiyonlarının (gerçek veya karmaşık) "ortogonal temeli" olduğu öğrenilir. [0, 2π] aralığındaki tüm (gerçek veya karmaşık değerli) fonksiyonların vektör uzayı, bu aralıkta kare-integre edilebilir, yani f fonksiyonları tatmin edici

İşlevleri {1} ∪ {sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3, ...} lineer bağımsızdır ve her fonksiyonu f bu kare-integrallenebilirdir [0, 2π] bir "sonsuz onların lineer kombinasyonu" anlamında,

uygun (gerçek veya karmaşık) katsayılar için a k , b k . Ancak pek çok kare integre olarak işlev temsil edilemez sonlu nedenle, bu baz fonksiyonları doğrusal kombinasyonları, yok bir Hamel temelini oluşturmaktadır. Bu uzayın her Hamel temeli, bu sayılabilir sonsuz fonksiyonlar kümesinden çok daha büyüktür. Bu tür uzayların Hamel tabanları tipik olarak kullanışlı değildir, oysa bu uzayların ortonormal tabanları Fourier analizinde esastır .

Geometri

Bir afin uzay , projektif uzay , dışbükey küme ve koninin geometrik kavramları birbiriyle ilişkili kavramlara sahiptir . temel . Bir benzeşik baz bir için , n boyutlu afin alanı olan noktaları genel doğrusal konuma . Aprojektif temel ,nboyutlu bir projektif uzayda, genel konumdaki noktalardır. Abirpolitopun dışbükey temeli ,dışbükey gövdesininköşelerinin kümesidir. Akoni tabanı , çokgen bir koninin birer noktasından oluşur. Ayrıca bkz.Hilbert temeli (doğrusal programlama).

rastgele temel

Bir için olasılık dağılımı içinde R , n , bir ile olasılık yoğunluk fonksiyonu , örneğin bir in eşit dağılımını olarak, n, Lebesgue ölçüsü bakımından boyutlu topu, gösterilebilir n rastgele ve bağımsız olarak seçilen vektörler, bir temel oluşturacak olasılığı biri ile olan, bu sebepten , n doğrusal bağımlı vektörler x 1 , ..., x , n de , R , n denklemi tatmin etmelidir [det x 1x , n ] = 0 (sütunlu matrisin sıfır belirleyici x i sıfır) ve bir dizi önemsiz olmayan bir polinomun ölçüsü sıfırdır. Bu gözlem, rastgele bazlara yaklaşma tekniklerine yol açmıştır.

Uzunluklarda K çiftler halinde, bağımsız bir şekilde, rastgele örneklenir vektörler hemen hemen ortogonal zincirleri ampirik dağılımı n boyutlu küp [-1, 1] n, bir boyutun fonksiyonu olarak n . Kutu grafikleri, her n için bu verilerin ikinci ve üçüncü çeyreklerini gösterir , kırmızı çubuklar medyanlara karşılık gelir ve mavi yıldızlar ortalamaları gösterir. Kırmızı eğri, Denklem ile verilen teorik sınırı gösterir. (1) ve yeşil eğri, rafine bir tahmini gösterir.

Doğrusal bağımlılığı veya tam dikliği sayısal olarak kontrol etmek zordur. Bu nedenle, ε-ortogonallik kavramı kullanılır. İçin iç ürün ile boşluklar , x isimli ε-ortogonal y ise (olduğundan, arasındaki açının kosinüs x ve y den az olan £ değerinin ).

Yüksek boyutlarda, iki bağımsız rasgele vektör, yüksek olasılıkla neredeyse diktir ve tümü yüksek olasılıkla ikili olarak neredeyse dik olan bağımsız rasgele vektörlerin sayısı, boyutla üssel olarak büyür. Daha doğrusu, n -boyutlu topda eşit dağılımı düşünün . Bir toptan N bağımsız rastgele vektör seçin (bunlar bağımsızdır ve aynı şekilde dağılmıştır ). Let θ küçük pozitif bir sayı. Bundan dolayı

 

 

 

 

(Eşi. 1)

N rastgele vektörün tümü, 1 − θ olasılıkla ikili ε-ortogonaldir . Bu N , boyut n ile ve yeterince büyük n için üstel olarak büyür . Rastgele bazların bu özelliği, sözde ölçü konsantrasyonu fenomeninin bir tezahürüdür .

Şekil (sağda) , n boyutunun bir fonksiyonu olarak n boyutlu küpten [-1, 1] n bağımsız olarak rastgele örneklenen ikili neredeyse dik vektör zincirlerinin N uzunluklarının dağılımını göstermektedir . Küpte ilk önce rastgele bir nokta seçilir. İkinci nokta aynı küpte rastgele seçilir. Vektörler arasındaki açı π/2 ± 0.037π/2 içindeyse , vektör korunur. Bir sonraki adımda, aynı hiperküpte yeni bir vektör oluşturulur ve daha önce oluşturulan vektörlerle olan açıları değerlendirilir. Bu açılar π/2 ± 0.037π/2 içindeyse vektör korunur. İşlem, neredeyse dik zincir kırılıncaya kadar tekrarlanır ve bu tür ikili neredeyse dik vektörlerin sayısı (zincirin uzunluğu) kaydedilir. Her n için, her bir boyut için sayısal olarak 20 adet ikili neredeyse dik zincir oluşturulmuştur. Bu zincirlerin uzunluklarının dağılımı sunulmuştur.

Her vektör uzayının bir temeli olduğunun kanıtı

V , bir F alanı üzerindeki herhangi bir vektör uzayı olsun . Let X, her lineer bağımsız alt-kümesi V .

X kümesi boş değildir, çünkü boş küme V'nin bağımsız bir alt kümesidir ve kısmen , her zamanki gibi ile gösterilen dahil etme ile sıralanmıştır .

Y , X'in tamamıyla tarafından sıralanan bir alt kümesi olsun ve L Y , Y'nin (kendileri V'nin belirli alt kümeleri olan ) tüm öğelerinin birleşimi olsun .

(Bu yana , Y , ⊆) tamamen sıralanır, L, her sonlu bir alt kümesi , Y bir elemanının bir alt kümesi , Y bir lineer bağımsız alt kümesi, V , ve dolayısıyla L -Y doğrusal bağımsızdır. Bu nedenle L , Y bir elemanıdır X . Bu nedenle, L , Y , bir üst sınırıdır Y bölgesindeki ( X , ⊆): bunun bir elemandır , X her eleman içerir, Y .

As X boş olmayan ve (her tamamen sipariş alt kümesidir X bir üst bağlanmış olan, ⊆) X , Zorn'un lemması iddia X'in bir maksimal elemanı vardır. Diğer bir deyişle, bir eleman L vardır maks arasında X koşulu olduğunu her L max bazı eleman L ⊆ L X , daha sonra L = maks .

Bu L kanıtlamak için kalan maksimum bir temelidir V . L yana maksimum ait X , daha önce, L bilmek maksimum bir lineer bağımsız alt kümesi V .

Bazı vektör olsaydı ağırlık arasında V L süre içinde değil maksimum sonra, ağırlık L bir eleman olmaz max ya. L w = L max ∪ { w } olsun. Bu set, bir elemanıdır X olduğunu, bu bir lineer bağımsız alt kümesi V (nedeniyle ağırlık L süre içinde değil maksimum ve L max birbirinden bağımsızdır). L olarak maksimum ⊆ L w ve L max ≠ L w (L için ağırlık vektörü içeren ağırlık , L içinde yer almayan en fazla bu çelişkili bir L maksimallikten) max . Bu nedenle, bu Şekil, L max süreleri V .

Bu nedenle L max lineer bağımsız ve açıklıkları olan V . Dolayısıyla V'nin bir temelidir ve bu, her vektör uzayının bir temeli olduğunu kanıtlar.

Bu ispat , seçim aksiyomuna eşdeğer olan Zorn'un lemmasına dayanır . Tersine, her vektör uzayının bir temeli varsa, o zaman seçim aksiyomunun doğru olduğu kanıtlanmıştır. Böylece iki iddia eşdeğerdir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Genel referanslar

Tarihsel referanslar

Dış bağlantılar