Babil matematiği - Babylonian mathematics

Ek açıklamalarla birlikte Babil kil tableti YBC 7289 . Köşegen , yaklaşık altı ondalık basamağa kadar iyi olan 1 24 51 10 olmak üzere dört altmışlık rakamda 2'nin karekökünün bir yaklaşımını gösterir . 1 + 24/60 + 51/60 ² + 10/60 ³ = 1.41421296... Tablet ayrıca karenin bir kenarının 30 olduğu ve elde edilen köşegenin 42 25 35 veya 42.4263888 olduğu bir örnek verir...

Babil matematiği ( Asur-Babil matematiği olarak da bilinir ) , ilk Sümer günlerinden Babil'in MÖ 539'daki düşüşünü izleyen yüzyıllara kadar Mezopotamya halkı tarafından geliştirilen veya uygulanan matematiği ifade eder . Babil matematik metinleri bol ve iyi düzenlenmiş. Zamana göre iki ayrı gruba ayrılırlar : biri Eski Babil döneminden (MÖ 1830-1531), diğeri esas olarak MÖ son üç veya dört yüzyıldan Seleukos . İçerik açısından, iki metin grubu arasında hemen hemen hiçbir fark yoktur. Babil matematiği, yaklaşık iki bin yıl boyunca karakter ve içerik olarak sabit kaldı.

Mısır matematiğindeki kaynakların kıtlığının aksine , Babil matematiği bilgisi , 1850'lerden beri ortaya çıkarılan yaklaşık 400 kil tabletten türetilmiştir. Yazılı Çivi komut , tabletler Toprak nemli iken kaydedilmek üzere, bir fırın ya da güneş ısısı ile sabit pişirilmiştir. Geri kazanılan kil tabletlerin çoğu MÖ 1800'den 1600'e kadar uzanır ve kesirler , cebir , ikinci dereceden ve kübik denklemler ve Pisagor teoremini içeren konuları kapsar . Babil tableti YBC 7289 , üç önemli altmışlık basamağa (yaklaşık altı anlamlı ondalık basamak) doğru bir yaklaşım verir . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Babil matematiğinin kökenleri

Babil matematiği, eski Yakın Doğu'da çivi yazısıyla yazılmış bir dizi sayısal ve daha gelişmiş matematiksel uygulamalardır . Çalışma, mevcut veri zenginliği nedeniyle tarihsel olarak MÖ 2. binyılın başlarındaki Eski Babil dönemine odaklanmıştır . Babil matematiğinin en erken ortaya çıkışı üzerine, tarihçiler MÖ 5. ve 3. bin yıl arasında bir dizi tarih öneren tartışmalar olmuştur. Babil matematiği öncelikle Akad veya Sümer dillerinde çivi yazısıyla kil tabletler üzerine yazılmıştır .

"Babil matematiği" belki de yararsız bir terimdir, çünkü önerilen en eski kökenler , MÖ 5. binyılda bulla ve jeton gibi muhasebe cihazlarının kullanımına dayanmaktadır.

Babil rakamları

Babil matematik sistemi, altmışlık (taban 60) bir sayı sistemiydi . Bundan, bir dakikada 60 saniye, bir saatte 60 dakika ve bir daire içinde 360 ​​derecenin modern günlük kullanımını türetiyoruz. Babilliler iki nedenden dolayı matematikte büyük ilerlemeler kaydedebildiler. İlk olarak, numara 60 a, daha üstün yüksek bileşik sayı , bir olan faktörler, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, birlikte kolaylaştırıcı hesaplamalar (kendileri bileşik olanlar da dahil olmak üzere), 60 kesirler . Ek olarak, Mısırlıların ve Romalıların aksine, Babilliler , sol sütunda yazılan rakamların daha büyük değerleri temsil ettiği gerçek bir yer-değer sistemine sahipti (tıpkı bizim on tabanlı sistemimizde 734 = 7×100 + 3×10 + 4× gibi). 1).

Sümer matematiği

Mezopotamya'nın eski Sümerleri , MÖ 3000'den itibaren karmaşık bir metroloji sistemi geliştirdiler . MÖ 2600'den itibaren Sümerler kil tabletlere çarpım tabloları yazdılar ve geometrik alıştırmalar ve bölme problemleriyle uğraştılar . Babil rakamlarının en eski izleri de bu döneme aittir.

Eski Babil matematiği (MÖ 2000-1600)

Babil matematiğini tanımlayan çoğu kil tablet Eski Babil'e aittir , bu nedenle Mezopotamya matematiği yaygın olarak Babil matematiği olarak bilinir. Bazı kil tabletler matematiksel listeler ve tablolar içerirken, diğerleri problemler ve çalışılmış çözümler içerir.

Kil tablet, matematiksel, geometrik-cebirsel, Pisagor teoremine benzer. Tell al-Dhabba'i, Irak'tan. 2003-1595 M.Ö. Irak Müzesi

Kil tablet, matematiksel, geometrik-cebirsel, Öklid geometrisine benzer. Tell Harmal, Irak'tan. 2003-1595 M.Ö. Irak Müzesi

Aritmetik

Babilliler aritmetikte yardımcı olmak için önceden hesaplanmış tablolar kullandılar . Örneğin, 1854'te Fırat Nehri üzerindeki Senkera'da bulunan ve MÖ 2000'den kalma iki tablet, 59'a kadar olan sayıların kareleri ve 32'ye kadar olan sayıların küplerinin listelerini verir. Babilliler, kareler listelerini formüllerle birlikte kullandılar:

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}}{2}}}$

${\displaystyle ab={\frac {(a+b)^{2}-(ab)^{2}}{4}}}$

çarpma işlemini basitleştirmek için.

Babillilerin uzun bölme için bir algoritması yoktu . Bunun yerine yöntemlerini şu gerçeğe dayandırdılar:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=a\times {\frac {1}{b}}}$

karşılıklı bir tablo ile birlikte . Yalnızca asal çarpanları 2, 3 veya 5 olan sayılar (5 düzgün veya düzenli sayılar olarak bilinir ) altmışlı gösterimde sonlu karşılıklara sahiptir ve bu karşılıkların kapsamlı listelerini içeren tablolar bulunmuştur.

1/7, 1/11, 1/13, vb. gibi karşılıkların altmışlık gösterimde sonlu gösterimleri yoktur. 1/13'ü hesaplamak veya bir sayıyı 13'e bölmek için Babilliler aşağıdaki gibi bir yaklaşıklık kullanırlardı:

${\displaystyle {\frac {1}{13}}={\frac {7}{91}}=7\times {\frac {1}{91}}\yaklaşık 7\times {\frac {1}{ 90}}=7\kez {\frac {40}{3600}}={\frac {280}{3600}}={\frac {4}{60}}+{\frac {40}{3600}} .}$

Cebir

Babylonian kil tablet YBC 7289 (c. 1800-1600 BC) bir yaklaşım sağlar √ 2 dört altmış tabanlı şekiller 1, 24,51,10, yaklaşık altı doğru ondalık rakam, ve mümkün olan en yakın üç yer √ 2'nin altmışlık gösterimi :

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac { 30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.}$

Aritmetik hesaplamaların yanı sıra, Babilli matematikçiler denklemleri çözmek için cebirsel yöntemler de geliştirdiler . Bunlar bir kez daha önceden hesaplanmış tablolara dayanıyordu.

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için Babilliler esasen standart ikinci dereceden formülü kullandılar . Formun ikinci dereceden denklemlerini düşündüler:

${\displaystyle \ x^{2}+bx=c}$

burada b ve c mutlaka tamsayı değildi, ancak c her zaman pozitifti. Bu denklem biçiminin çözümünün şu olduğunu biliyorlardı:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\sağ)^{2}+c}}}$

ve bölme ve ortalamayı kullanarak karekökleri verimli bir şekilde buldular. Her zaman pozitif kökü kullandılar çünkü "gerçek" problemleri çözerken bu mantıklıydı. Bu tür problemler, alanı verilen bir dikdörtgenin boyutlarını ve uzunluğunun genişliği aştığı miktarı bulmayı içeriyordu.

Bazı kübik denklemleri çözmek için n ³  +  n ² değer tabloları kullanıldı . Örneğin, denklemi düşünün:

${\displaystyle \ ax^{3}+bx^{2}=c.}$

Denklemi a ² ile çarpıp b ^3'e bölmek şunu verir:

${\displaystyle \left({\frac {ax}{b}}\sağ)^{3}+\left({\frac {ax}{b}}\sağ)^{2}={\frac {ca ^{2}}{b^{3}}}.}$

İkame y = ax / b verir:

${\displaystyle y^{3}+y^{2}={\frac {ca^{2}}{b^{3}}}}$

bu , sağ tarafa en yakın değeri bulmak için n ³  +  n ² tablosuna bakılarak çözülebilir . Babilliler bunu cebirsel notasyon olmadan başardılar ve dikkate değer bir anlayış derinliği gösterdiler. Ancak, genel kübik denklemi çözmek için bir yöntemleri yoktu.

Büyüme

Babilliler üstel büyümeyi, sınırlı büyümeyi (bir tür sigmoid fonksiyonu aracılığıyla ) ve iki katına çıkma süresini modellediler , ikincisi kredi faizi bağlamında.

C'den kil tabletler. 2000 BCE, "Ayda 1/60 faiz oranı verildiğinde (bileşiksiz), ikiye katlama süresini hesaplayın" alıştırmasını içerir. Bu, 12/60 = %20'lik bir yıllık faiz oranı ve dolayısıyla iki katına çıkma süresi %100 büyüme/yılda %20 büyüme = 5 yıl verir.

Plimpton 322

Plimpton 322 tablet "listesini içeren Pisagor üçlüsü ", yani tamsayılar öyle ki . Üçlüler, kaba kuvvetle elde edilemeyecek kadar çok ve büyüktür. ${\görüntüleme stili (a,b,c)}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

Tabletin erken bir trigonometrik tablo olarak hizmet edip edemeyeceğine dair bazı spekülasyonlar (belki de anakronistik) dahil olmak üzere konuyla ilgili çok şey yazıldı. Tableti, o sırada yazıcıların aşina olduğu veya erişebileceği yöntemler açısından görmeye özen gösterilmelidir.

[...] "tablet nasıl hesaplandı?" "tablet ne gibi sorunlar çıkarıyor?" sorusuyla aynı cevaba sahip olmak zorunda değil. İlki, yarım yüzyıl önce önerildiği gibi, en tatmin edici şekilde karşılıklı çiftlerle, ikincisi ise bir tür dik üçgen problemleriyle yanıtlanabilir.

(E. Robson, "Ne Sherlock Holmes ne de Babylon: Plimpton 322'nin yeniden değerlendirilmesi", Historia Math. 28 (3), s. 202).

Geometri

Babilliler hacimleri ve alanları ölçmek için ortak kuralları biliyorlardı. Bir dairenin çevresini çapın üç katı ve alanı da çevrenin karesinin on ikide biri olarak ölçtüler, ki bu π 3 olarak tahmin edilirse doğru olurdu . Bunun bir yaklaşıklık olduğunun ve bir Eski Babil matematiksel 1936'da (MÖ 19. ve 17. yüzyıllar arasına tarihlenen) Susa yakınlarında bulunan tablet , π'nin 25/8 = 3.125 olarak daha iyi bir tahminini verir , bu kesin değerin yaklaşık yüzde 0,5 altındadır. Bir silindirin hacmi tabanın ve yüksekliğin çarpımı olarak alındı, ancak bir koninin veya kare piramidin kesik kısmının hacmi yanlış bir şekilde yüksekliğin ve tabanların toplamının yarısının çarpımı olarak alındı. Pisagor teoremi de Babilliler biliniyordu.

"Babil mili", yaklaşık 11.3 km'ye (veya yaklaşık yedi modern mile) eşit bir mesafe ölçüsüydü. Mesafeler için bu ölçüm sonunda Güneş'in yolculuğunu ölçmek için kullanılan bir "zaman mili"ne dönüştürüldü, bu nedenle zamanı temsil etti.

Eski Babilliler, benzer üçgenlerin kenarlarının oranlarıyla ilgili teoremleri yüzyıllardır biliyorlardı, ancak açı ölçüsü kavramından yoksundular ve sonuç olarak bunun yerine üçgenlerin kenarlarını incelediler.

Babil astronomları yükselen ve ayar detaylı bir kaydını tuttu yıldızlı , hareket gezegenlerin , güneş ve ay tutulmaları aşina gerekli her biri, açısal üzerinde ölçülen mesafeler gök küre .

Ayrıca 1950'lerde Otto Neugebauer tarafından keşfedilen efemeris'i (astronomik konumların tabloları) hesaplamak için bir Fourier analizi biçimi kullandılar . Babilliler, gök cisimlerinin hareketlerini hesaplamak için temel aritmetik ve güneş ve gezegenlerin içinden geçtiği gökyüzü parçası olan ekliptik üzerine kurulu bir koordinat sistemi kullandılar .

British Museum'da tutulan tabletler , Babillilerin soyut bir matematiksel uzayda bir nesne kavramına sahip olacak kadar ileri gittiklerine dair kanıt sağlar. MÖ 350 ile 50 arasına tarihlenen tabletler, Babillilerin geometriyi önceden düşünülenden bile daha önce anladığını ve kullandığını ortaya koyuyor. Babilliler , daha önce 14. yüzyıl Avrupa'sında ortaya çıktığına inanılan bir teknik olan, altına bir yamuk çizerek bir eğrinin altındaki alanı tahmin etmek için bir yöntem kullandılar . Bu tahmin yöntemi, örneğin, Jüpiter'in belirli bir süre içinde kat ettiği mesafeyi bulmalarına izin verdi .

Etki

Babil uygarlığının yeniden keşfinden bu yana, Yunan ve Helenistik matematikçilerin ve astronomların ve özellikle Hipparchus'un Babillilerden büyük ölçüde ödünç aldıkları ortaya çıktı .

Franz Xaver Kugler , Die Babylonische Mondrechnung (" The Babylonian ay hesaplaması ", Freiburg im Breisgau, 1900) adlı kitabında şunları gösterdi: Ptolemy Almagest IV.2'de Hipparchus'un Ay'ın kendisi tarafından bilinen dönemlerinin değerlerini geliştirdiğini belirtti. daha da eski gökbilimciler", daha önce "Kildaniler" tarafından ve kendisi tarafından yapılan tutulma gözlemlerini karşılaştırarak. Ancak Kugler, Ptolemy'nin Hipparchus'a atfettiği dönemlerin Babil efemeridlerinde , özellikle günümüzde "Sistem B" (bazen Kidinnu'ya atfedilen ) olarak adlandırılan metin koleksiyonunda zaten kullanıldığını buldu . Görünüşe göre Hipparchus, Keldanilerden öğrendiği dönemlerin geçerliliğini yalnızca daha yeni gözlemleriyle doğruladı.

Hipparchus'un (ve ondan sonra Ptolemy'nin) asırları kapsayan tam bir tutulma gözlemleri listesine sahip olduğu açıktır. Bunlar büyük olasılıkla "günlük" tabletlerden derlenmişti: Bunlar, Keldanilerin rutin olarak yaptığı tüm ilgili gözlemleri kaydeden kil tabletlerdir. Korunan örnekler MÖ 652'den MS 130'a kadar uzanır, ancak muhtemelen kayıtlar Babil kralı Nabonassar'ın saltanatına kadar uzanıyordu : Ptolemy, kronolojisini Nabonassar'ın ilk yılının Mısır takvimindeki ilk günle, yani 26 Şubat ile başlatıyor. 747 M.Ö.

Bu hammaddenin tek başına kullanımı zor olmalı ve şüphesiz Keldanilerin kendileri, örneğin gözlemlenen tüm tutulmaların özetlerini derlediler (bir saroyu kapsayan bir zaman dilimindeki tüm tutulmaların listesini içeren bazı tabletler bulundu). Bu, olayların periyodik tekrarlarını tanımalarına izin verdi. Sistem B'de kullandıkları diğerlerinin yanı sıra (bkz. Almagest IV.2):

• 223 sinodik ay = anomalide 239 getiri (anomali ay ) = enlemde 242 getiri ( drakonik ay ). Bu artık tutulmaları tahmin etmek için yararlı olan saros dönemi olarak bilinir .
• 251 (sinodik) ay = 269 anormallik getirisi
• 5458 (sinodik) ay = enlemde 5923 getiri
• 1 sinodik ay = 29;31,50,08,20 gün (seksagesimal; 29.53059413... ondalık olarak gün = 29 gün 12 saat 44 dk 3⅓ s, PS gerçek zamanı 2,9 sn, yani 0,43 saniye kapalı)

Babilliler , muhtemelen bir ay-güneş takvimi kullandıkları için tüm dönemleri sinodik aylarda ifade ettiler . Yıllık fenomenlerle çeşitli ilişkiler, yılın uzunluğu için farklı değerlere yol açtı.

Benzer şekilde, gezegenlerin dönemleri arasında çeşitli ilişkiler biliniyordu. Batlamyus'un Almagest IX.3'te Hipparchus'a atfettiği ilişkilerin tümü, Babil kil tabletlerinde bulunan tahminlerde zaten kullanılmıştı.

Tüm bu bilgiler, muhtemelen Büyük İskender'in (MÖ 331) fethinden kısa bir süre sonra Yunanlılara aktarıldı . Geç klasik filozof Simplicius'a (MS 6. yüzyılın başları) göre İskender, tarihi astronomik kayıtların tercümesini , amcası Aristoteles'e gönderen vakanüvisi Olynthus'lu Callisthenes'in gözetiminde emretti . Simplicius çok geç bir kaynak olmasına rağmen, onun hesabı güvenilir olabilir. Bir süre sürgünde Sasani (Fars) sarayında geçirdi ve aksi takdirde Batı'da kaybolan kaynaklara erişmiş olabilir. Tarihsel bir eser için garip bir isim olan tèresis (Yunanca: muhafız) başlığından bahsetmesi dikkat çekicidir , ancak Babil başlığı olan MassArt'ın koruma, aynı zamanda gözlemleme anlamına gelen yeterli bir çevirisidir . Her neyse, Aristoteles'in öğrencisi Kyzikoslu Callippus , 19 yıllık Metonik döngüde gelişen 76 yıllık döngüsünü o sıralarda tanıttı . İlk döngüsünün ilk yılını MÖ 28 Haziran 330 yaz gündönümünde ( Proleptik Jülyen takvim tarihi), ancak daha sonra MÖ 331 sonbaharında İskender'in Gaugamela'daki kesin savaşından sonraki ilk aydan itibaren kameri ayları saymış gibi görünüyor . Yani Callippus verilerini Babil kaynaklarından elde etmiş olabilir ve takvimi Kidinnu tarafından tahmin edilmiş olabilir. Ayrıca Berossus olarak bilinen Babil rahibinin MÖ 281 civarında Babil'in (oldukça mitolojik) tarihi hakkında , yeni hükümdar Antiochus I için Babil'in Yunanca bir kitabını yazdığı bilinmektedir ; Daha sonra Yunanistan'ın Kos adasında bir astroloji okulu kurduğu söylenir . Babil hakkında Yunanlıları öğretmek için başka aday astronomi / astroloji oldu Sudines sarayında oldu I. Attalos Soter geç MÖ 3. yüzyılda.

Her halükarda, astronomik kayıtların çevirisi, çivi yazısı , dil ve prosedürler hakkında derin bir bilgi gerektiriyordu , bu yüzden muhtemelen kimliği belirsiz bazı Keldaniler tarafından yapılmış gibi görünüyor. Şimdi, Babilliler gözlemlerini ayların ve yılların değişen uzunluklara sahip olduğu (sırasıyla 29 veya 30 gün; 12 veya 13 ay) lunisolar takvimlerinde tarihlendirdiler. O zamanlar düzenli bir takvim kullanmadılar ( daha sonra yaptıkları gibi Metonik döngüye dayalı gibi) ancak Yeni Ay gözlemlerine dayanarak yeni bir aya başladılar . Bu, olaylar arasındaki zaman aralığını hesaplamayı çok sıkıcı hale getirdi.

Hipparchus'un yapmış olabileceği şey, bu kayıtları , her zaman 365 günlük sabit bir yıl kullanan (12 ay 30 gün ve 5 ekstra günden oluşan) Mısır takvimine dönüştürmektir : bu, zaman aralıklarını hesaplamayı çok daha kolay hale getirir. Ptolemy bu takvimdeki tüm gözlemleri tarihlendirdi. Ayrıca, "Onun (=Hipparchus) yaptığı tek şey, daha faydalı bir şekilde düzenlenmiş gezegensel gözlemlerin bir derlemesini yapmaktı" diye yazar ( Almagest IX.2). Pliny ( Naturalis Historia II.IX(53)) tutulma tahminleri hakkında şunları belirtir : "Onların zamanından sonra (= Thales ) her iki yıldızın ( =Güneş ve Ay) rotaları 600 yıl boyunca Hipparchus tarafından kehanet edildi, ...". Bu, Hipparchus'un tutulmaları 600 yıllık bir süre için öngördüğünü ima ediyor gibi görünüyor, ancak gereken muazzam miktarda hesaplama düşünüldüğünde, bu pek olası değil. Aksine, Hipparchus, Nabonasser'in zamanından kendi zamanına kadar olan tüm tutulmaların bir listesini yapardı.

Hipparchus'un çalışmasında Babil pratiğinin diğer izleri şunlardır:

• Dairenin 360 derecelik 60 yay dakikasında bölünmesinin bilinen ilk Yunan kullanımı .
• altmışlık sayı sisteminin ilk tutarlı kullanımı .
• yaklaşık 2° veya 2½° pechus ("arşın") biriminin kullanımı .
• 248 günlük kısa bir sürenin kullanımı = 9 anormal ay.

Ayrıca bakınız

• Babil
• Babil astronomi
• matematik tarihi
• İslami Irak/Mezopotamya'da matematik için İslami matematik

Notlar

Referanslar

• Berriman, AE (1956). Babil ikinci dereceden denklem .
• Boyer, CB (1989). Merzbach, Uta C. (ed.). Matematik Tarihi (2. rev. ed.). New York: Wiley. ISBN'si 0-471-09763-2.(1991 pbk ed. ISBN  0-471-54397-7 ).
• Höyrup, Jens. "Pisagor 'Kuralı' ve 'Teorem' - Babil ve Yunan Matematiği Arasındaki İlişkinin Aynası". Renger'de, Johannes (ed.). Babylon: Odak mezopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.–26. Berlin'de März 1998 (PDF) . Berlin: Deutsche Orient-Gesellschaft / Saarbrücken: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag. s. 393–407.
• Joseph, GG (2000). Tavus Kuşunun Tepesi . Princeton Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-691-00659-8.
• Joyce, David E. (1995). "Plimpton 322" . Alıntı günlüğü gerektirir |journal=( yardım )
• Neugebauer, Otto (1969) [1957]. Antik Çağda Kesin Bilimler . Acta Historica Scientiarum Naturalium ve Medicinalium . 9 (2 baskı). Dover Yayınları . s. 1–191. ISBN'si 978-0-486-22332-2. PMID  14884919 .
• O'Connor, JJ; Robertson, EF (Aralık 2000). "Babil matematiğine genel bir bakış" . MacTutor Matematik Tarihi .
• Robson, Eleanor (2001). "Ne Sherlock Holmes ne de Babylon: Plimpton 322'nin yeniden değerlendirilmesi" . Tarih Matematik . 28 (3): 167-206. doi : 10.1006/hmat.2001.2317 . MR  1849797 .
• Robson, E. (2002). "Kelimeler ve resimler: Plimpton 322'de yeni ışık". Amerikan Matematiksel Aylık . Washington. 109 (2): 105–120. doi : 10.1080/00029890.2002.11919845 . JSTOR  2695324 . S2CID  33907668 .
• Robson, E. (2008). Eski Irak'ta Matematik: Bir Sosyal Tarih . Princeton Üniversitesi Yayınları.
• Toomer, GJ (1981). Hipparchus ve Babil Astronomi .