Otoregresif kesirli olarak entegre hareketli ortalama - Autoregressive fractionally integrated moving average

Olarak istatistik , fraksiyonel hareketli ortalama entegre kendiliğinden gerileyen modellerdir zaman serisi genelleme modelleri ARİMA ( autoregressive hareketli ortalama entegre Farkın tamsayı olmayan değerler sağlayarak modellerde) parametresi . Bu modeller, uzun hafızalı zaman serilerinin modellenmesinde faydalıdır - yani, uzun dönem ortalamasından sapmaların üstel bir bozulmadan daha yavaş bozulduğu. "ARFIMA" veya "FARIMA" kısaltmaları sıklıkla kullanılır, ancak aynı zamanda modeller için "ARIMA( p , d , q )" notasyonunu basitçe, sadece fark alma sırasına, d , kesirli değerler almasına izin vererek genişletmek gelenekseldir. .

Temel bilgiler

Bir ARIMA modelinde, modelin entegre kısmı, bir tamsayı gücüne yükseltilmiş fark alma operatörünü (1 - B ) (burada B , geri kaydırma operatörüdür ) içerir. Örneğin,

${\displaystyle (1-B)^{2}=1-2B+B^{2}\,,}$

nerede

${\displaystyle B^{2}X_{t}=X_{t-2}\,,}$

Böylece

${\displaystyle (1-B)^{2}X_{t}=X_{t}-2X_{t-1}+X_{t-2}.}$

Bir de fraksiyonel modeli, güç aşağıdaki resmi kullanılarak tanımlanan terimin anlamı ile, fraksiyonel olmasına izin binom serisi genişleme

${\displaystyle {\begin{hizalı}(1-B)^{d}&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{d \k}\;(-B)^{k seç }\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\;{\frac {\prod _{a=0}^{k-1}(da)\ (-B)^{k} }{k!}}\\&=1-dB+{\frac {d(d-1)}{2!}}B^{2}-\cdots \,.\end{hizalı}}}$

ARFIMA(0, d , 0)

En basit otoregresif kesirli tümleşik model, ARFIMA(0, d , 0), standart gösterimde,

${\displaystyle (1-B)^{d}X_{t}=\varepsilon _{t},}$

bunun yorumu nerede

${\displaystyle X_{t}-dX_{t-1}+{\frac {d(d-1)}{2!}}X_{t-2}-\cdots =\varepsilon _{t}.}$

ARFIMA(0, d , 0) kesirli Gauss gürültüsüne (fGn) benzer : d = H − 1 ⁄ 2 ile kovaryansları aynı kuvvet kanunu bozunumuna sahiptir. fGn'nin ARFIMA(0, d ,0) üzerindeki avantajı, sonlu örnekler için birçok asimptotik bağıntının geçerli olmasıdır . ARFIMA(0, d ,0)'ın fGn'ye göre avantajı, özellikle basit bir spektral yoğunluğa sahip olmasıdır —

—ve bu, çok yönlü bir model ailesi olan ARFIMA( p , d , q )' nin özel bir durumudur .

Genel form: ARFIMA( p , d , q )

Bir ARFIMA modeli, ARIMA ( p , d , q ) süreciyle aynı temsil biçimini paylaşır , özellikle:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\phi _{i}B^{i}\sağ)\sol(1-B\sağ)^{d}X_{t }=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}B^{i}\sağ)\varepsilon _{t}\,.}$

Sıradan ARIMA işleminin aksine, "fark parametresi", d , tamsayı olmayan değerler almasına izin verilir.

Sıradan ARMA modellerinde geliştirme

Sıradan ARMA modellerine yönelik geliştirme aşağıdaki gibidir:

1. orijinal veri serilerini alın ve sonucu durağan hale getirmek için yeterince kesirli farkla yüksek geçişli filtre uygulayın ve bu kesirli farkın d sırasını hatırlayın, d genellikle 0 ile 1 arasında ... muhtemelen daha aşırı durumlarda 2+'ye kadar. 2'nin kesirli farkı, 2. türev veya 2. farktır.
   • not: kesirli fark uygulamak problemin birimlerini değiştirir. Fiyatlar ile başlarsak, kesirli farkları alırsak, artık Fiyat birimlerinde değiliz.
   • Bir zaman serisini durağan hale getirmek için fark alma sırasını belirlemek yinelemeli, keşfedici bir süreç olabilir.
2. ersatz birimlerinde olan bu durağan geçici veri kümesine uyması için olağan yöntemlerle düz ARMA terimlerini hesaplayın.
3. bu ARMA terimleriyle ya mevcut verilere (statik tahmin) ya da "ileriye" (dinamik tahmin, zamanda ileri) tahmin yapın.
4. tahmini orijinal problem birimlerine geri döndürmek için (örneğin, ersatz birimlerini tekrar Price'a çevirin) ters filtre işlemini ( 1. adımda olduğu gibi aynı d düzeyine kesirli entegrasyon ) öngörülen seriye uygulayın.
   • Kesirli fark alma ve kesirli entegrasyon, d'nin zıt değerleriyle aynı işlemdir: örneğin, bir zaman serisinin d = 0,5'e olan kesirli farkı, aynı kesirli fark alma işlemi (tekrar) uygulanarak ancak d = -0.5 kesri ile ters çevrilebilir (entegre edilebilir). . GRETL fracdiff işlevine bakın: http://gretl.sourceforge.net/gretl-help/funcref.html#fracdiff

Ön filtrelemenin amacı, veri setindeki düşük frekansları azaltmaktır, bu da verilerde durağanlıklara neden olabilir, ki bu durağan olmayan ARMA modelleri iyi (veya hiç) işleyemez... Model oluşturulduktan sonra kurtarılabilir.

Kesirli fark alma ve ters işlem kesirli entegrasyon (ARFIMA modelleme ve tahmin sürecinde her iki yön de kullanılır) dijital filtreleme ve "filtreden çıkarma" işlemleri olarak düşünülebilir. Bu nedenle, hangi frekansların tutulduğunu ve hangilerinin zayıflatıldığını veya atıldığını bilmek için bu tür filtrelerin frekans yanıtını incelemek yararlıdır, yani: https://github.com/diffent/fracdiff/blob/master/freqrespfracdiff.pdf

Bu AR(FI)MA modelinde kesirli fark alma ve entegrasyonun yerini alacak herhangi bir filtrelemenin, bilgi kaybını önlemek için fark alma ve entegrasyon (toplama) gibi benzer şekilde ters çevrilebilir olması gerektiğini unutmayın. Örneğin, birçok düşük frekansı tamamen ortadan kaldıran bir yüksek geçiş filtresi (yalnızca frekans 0'ı [giriş sinyalindeki sabit davranış] ve yalnızca diğer düşük frekansları zayıflatan kesirli fark yaratan yüksek geçiş filtresinin aksine, yukarıya bakın PDF) çok iyi çalışmayabilir, çünkü ARMA terimlerini filtrelenmiş serilere sığdırdıktan sonra, ARMA tahminini orijinal birimlerine döndürmek için ters işlem, düşük frekanslar sıfıra kesildiğinden, bu zayıflatılmış düşük frekansları yeniden artıramayacaktır.

Bu tür frekans tepkisi çalışmaları, iyi bilinen, uygulanması kolay ve minimum bozulma yüksek geçiren Butterworth filtresi gibi ARFIMA modelleme akışının "FI" kısmı için yararlı ikameler olabilecek diğer benzer (tersinir) filtre ailelerini önerebilir. veya benzeri: https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-55789-2_13

Ayrıca bakınız

• Kesirli hesap — kesirli farklılaşma
• Differintegral - kesirli entegrasyon ve farklılaşma
• Kesirli Brownian hareketi - benzer bir temele sahip sürekli zamanlı stokastik bir süreç
• Uzun menzilli bağımlılık

Notlar

Referanslar

• Granger, CWJ ; Joyeux, R. (1980). "Uzun bellekli zaman serisi modellerine ve kesirli farklara giriş". Zaman Serisi Analizi Dergisi . 1 : 15–30. doi : 10.1111/j.1467-9892.1980.tb00297.x .
• Hosking, JRM (1981). "Kesirli fark". Biyometrik . 68 (1): 165–176. doi : 10.1093/biomet/68.1.165 .
• Robinson, PM (2003). Uzun Hafızalı Zaman Serileri . Oxford Üniversitesi Yayınları. ISBN'si 0-19-925729-9.