Argüman (karmaşık analiz) - Argument (complex analysis)

Şekil 1. Bu Argand diyagramı , bir düzlem üzerinde yer alan karmaşık sayıyı temsil etmektedir . Düzlemdeki her nokta için arg , açıyı döndüren fonksiyondur .

Gelen matematik (özellikle de karmaşık analiz ), argüman kompleks numarası z , gösterilen arg ( z ) 'dir açı pozitif arasındaki gerçek eksen kökenini ve birleştiren hat z bir nokta olarak temsil edilen, kompleks düzlem , shown Şekil 1'deki gibi sıfırdan farklı karmaşık sayılar üzerinde çalışan çok değerli bir fonksiyondur . Tek değerli bir işlevi tanımlamak için , argümanın temel değeri (bazen Arg z ile gösterilir ) kullanılır. Genellikle (− π , π ] aralığında yer alan argümanın benzersiz değeri olarak seçilir .

Tanım

Şekil 2. Argüman için iki seçenek

arg( z ) ile gösterilen z = x + iy karmaşık sayısının bir argümanı iki eşdeğer yolla tanımlanır:

  1. Geometrik olarak, içinde kompleks düzlemde olarak, 2 boyutlu, kutup açısı temsil vektör için pozitif reel eksene z . Sayısal değer radyan cinsinden açıyla verilir ve saat yönünün tersine ölçülürse pozitiftir.
  2. Matematiksel olarak, herhangi bir gerçek miktarı bu şekilde
    bazı pozitif gerçek r için ( Euler formülüne bakınız ). Miktarı r olan modülü arasında (ya da mutlak değer) z , gösterilen | z |:

İsimler büyüklüğü , modülü ve için faz , argüman için, bazen aynı şekilde kullanılır.

Her iki tanımda da, sıfır olmayan herhangi bir karmaşık sayının argümanının birçok olası değeri olduğu görülebilir: ilk olarak, geometrik bir açı olarak, tam daire dönüşlerinin noktayı değiştirmediği açıktır, bu nedenle açılar bir tamsayı katı ile farklılık gösterir. arasında radyan sağda şekil 2 ile yansıtılan (tam bir daire), aynıdır. Benzer şekilde, gelen periyodik bir sin ve cos , ikinci tanım da bu özelliğe sahiptir. Sıfır argümanı genellikle tanımsız bırakılır.

ana değer

Şekil 3. temel değer Arg mavi noktasının 1 + ı olduğu π / 4 . Buradaki kırmızı çizgi dal kesimidir ve Şekil 4'te birbirinin üzerinde dikey olarak görülen iki kırmızı çizgiye karşılık gelir).

Orijin etrafında tam bir dönüş karmaşık bir sayıyı değişmeden bıraktığından , orijini herhangi bir sayıda daire içine alarak yapılabilecek birçok seçenek vardır . Bu, dikey bir çizginin (şekilde gösterilmemiştir) yüzeyi o nokta için tüm olası açı seçimlerini temsil eden yükseklikte kestiği çok değerli (ayarlı) fonksiyonun bir temsili olan şekil 2'de gösterilmiştir.

Bir zaman iyi tanımlanmış işlem gereklidir, daha sonra da bilinen alışılmış bir seçim, esas değeri , açık, kapalı bir değerdir aralığı - ( π rad, π rad] , dan - tt için π radyan hariç olmak üzere, - π rad'nin kendisi (eş., -180 ila +180 derece arası , -180°'nin kendisi hariç) Bu, her iki yönde pozitif gerçek eksenden yarım tam daireye kadar olan bir açıyı temsil eder.

Bazı yazarlar, ana değerin aralığını kapalı-açık aralık [0, 2 π ) olarak tanımlar .

gösterim

Arg z'de olduğu gibi , özellikle argümanın genel bir versiyonu da göz önüne alındığında, ana değer bazen ilk harfi büyük harfle yazılır . Notasyonun değiştiğini unutmayın, bu nedenle arg ve Arg farklı metinlerde yer değiştirebilir.

Argümanın tüm olası değerlerinin kümesi Arg cinsinden şu şekilde yazılabilir :

aynı şekilde

Gerçek ve hayali kısımdan hesaplama

Bir karmaşık sayı, gerçel ve sanal kısımları cinsinden biliniyorsa, Arg temel değerini hesaplayan işleve iki bağımsız değişkenli arktanjant işlevi atan2 denir :

.

atan2 işlevi (arktan2 veya diğer eş anlamlılar olarak da adlandırılır) birçok programlama dilinin matematik kitaplıklarında bulunur ve genellikle (−π, π] aralığında bir değer döndürür .

Birçok metin , y / x eğim olduğundan ve arctan'ın eğimi açıya dönüştürdüğünden , değerin arctan( y / x ) tarafından verildiğini söyler . Bu yalnızca x > 0 olduğunda doğrudur , bu nedenle bölüm tanımlanır ve açı π /2 ile π /2 arasında bulunur , ancak bu tanımı x'in pozitif olmadığı durumlara genişletmek göreceli olarak söz konusudur. Spesifik olarak, argümanın temel değeri, x > 0 ve x < 0 (eksi x ekseninde dal kesilmesi isteniyorsa iki çeyreğe ayrılmış) iki yarım düzlemde ayrı ayrı tanımlanabilir , y > 0 , y < 0 ve ardından birlikte yama yapın.

4 örtüşen yarım düzlemli kompakt bir ifade

Arg'nin [0, 2π) aralığında yer aldığı tanımlı varyant için, değer, negatif olduğunda yukarıdaki değere eklenerek bulunabilir .

Alternatif olarak, temel değer, tanjant yarım açı formülü kullanılarak tek biçimli bir şekilde hesaplanabilir , fonksiyon karmaşık düzlem üzerinde tanımlanır, ancak orijin hariç tutulur:

Bu, dairenin (negatif x ekseni hariç ) rasyonel fonksiyonlarla parametreleştirilmesine dayanır . Arg'nin bu versiyonu kayan noktalı hesaplama kullanımı için yeterince kararlı değildir (çünkü x < 0, y = 0 bölgesinin yakınında taşabilir ), ancak sembolik hesaplamada kullanılabilir .

Son formülün taşmayı önleyen bir çeşidi bazen yüksek hassasiyetli hesaplamada kullanılır:

kimlikler

Arg temel değerini tanımlamanın ana motivasyonlarından biri, karmaşık sayıları modül-argüman biçiminde yazabilmektir. Dolayısıyla herhangi bir karmaşık sayı z için ,

Bu, yalnızca z sıfır değilse gerçekten geçerlidir , ancak Arg(0) tanımsız olmaktan ziyade belirsiz bir form olarak kabul edilirse z = 0 için geçerli sayılabilir .

Bazı başka kimlikler takip eder. Eğer z 1 ve Z 2 , iki sıfır olmayan karmaşık sayılar, daha sonra

Eğer z ≠ 0 ve n, daha sonra herhangi bir tamsayıdır,

Örnek

Karmaşık logaritmayı kullanma

itibaren , bunu kolayca takip eder . Bu, karmaşık logaritmanın mevcut olduğu durumlarda kullanışlıdır .

Genişletilmiş Argüman

Bir z sayısının genişletilmiş argümanı ( olarak gösterilir ), modulo 2 ile uyumlu tüm gerçek sayıların kümesidir .

Referanslar

bibliyografya

  • Ahlfors, Lars (1979). Karmaşık Analiz: Bir Karmaşık Değişkenin Analitik Fonksiyonları Teorisine Giriş (3. baskı). New York; Londra: McGraw-Hill. ISBN'si 0-07-000657-1.
  • Ponnuswamy, S. (2005). Karmaşık Analizin Temelleri (2. baskı). Yeni Delhi; Mumbai: Narosa. ISBN'si 978-81-7319-629-4.
  • Beardon, Alan (1979). Karmaşık Analiz: Analiz ve Topolojide Argüman İlkesi . Chichester: Wiley. ISBN'si 0-471-99671-8.
  • Borowski, Efraim; Borwein, Jonathan (2002) [1. baskı. 1989 Matematik Sözlüğü olarak ]. matematik . Collins Sözlüğü (2. baskı). Glasgow: HarperCollins . ISBN'si 0-00-710295-X.

Dış bağlantılar