Eski Mısır matematiği - Ancient Egyptian mathematics

Eski Mısır matematiği , Eski Mısır c'de geliştirilen ve kullanılan matematiktir . 3000 ila c. 300  , Eski Mısır Krallığı'ndan kabaca Helenistik Mısır'ın başlangıcına kadar . Eski Mısırlılar , genellikle çarpma ve kesirleri içeren yazılı matematik problemlerini saymak ve çözmek için bir sayı sistemi kullandılar . Mısır matematiğinin kanıtı , papirüs üzerine yazılmış az sayıdaki hayatta kalan kaynakla sınırlıdır . Bu metinlerde itibaren eski Mısırlı kavramlarını anlaşılacaktır bilinmektedir geometri gibi belirleyici olarak, yüzey alanı ve hacmi için yararlı olan üç boyutlu şekillerin mimari mühendislik ve cebri gibi yanlış konumu yöntemi ve ikinci dereceden denklem .

genel bakış

Abydos'taki Tomb Uj'da bulunan fildişi etiketlerle matematiğin kullanıldığına dair yazılı kanıtlar en az MÖ 3200'e kadar uzanır . Bu etiketlerin mezar eşyaları için etiket olarak kullanıldığı ve bazılarının üzerine rakamlar yazıldığı anlaşılmaktadır. 10 tabanlı sayı sisteminin kullanımına dair daha fazla kanıt, 400.000 öküz, 1.422.000 keçi ve 120.000 mahkumun tekliflerini gösteren Narmer Macehead'de bulunabilir .

Matematik kullanımına dair kanıtlar Eski Krallık (c. 2690-2180 BC) kıt, ama yakın bir duvara yazıtlardan yola çıkılarak ulaşılabilir mastaba içinde Meidum mastaba eğimi için yönergeler verir. Diyagramdaki çizgiler, bir arşın aralıklarla yerleştirilmiştir ve bu ölçü biriminin kullanımını göstermektedir .

En eski gerçek matematiksel belgeler 12. Hanedan'a aittir (c. 1990–1800 MÖ). Moskova Matematik Papirüsü , Mısır Matematiksel Deri Rulo , Lahun Matematiksel Papyri çok daha büyük koleksiyonunun bir parçası olan Kahun Papyri ve Berlin Papyrus'unda 6619 bu döneme tüm tarih. Rhind Papirüsü yılına dayanmaktadır İkinci Ara Dönem (c. M.Ö. 1650) söylenir 12. hanedanından eski matematiksel metne dayalı olması.

Moskova Matematik Papirüsü ve Rhind Matematik Papirüsü, matematiksel problem metinleri olarak adlandırılır. Çözümleri olan bir problemler koleksiyonundan oluşurlar. Bu metinler, tipik matematik problemlerini çözmekle uğraşan bir öğretmen veya öğrenci tarafından yazılmış olabilir.

Eski Mısır matematiğinin ilginç bir özelliği , birim kesirlerin kullanılmasıdır. Mısırlılar kesirler için bazı özel gösterimler kullandılar.1/2, 1/3 ve 2/3 ve bazı metinlerde 3/4, ancak diğer kesirlerin tümü formun birim kesirleri olarak yazılmıştır.1/nveya bu tür birim kesirlerin toplamları. Scribes, bu kesirlerle çalışmalarına yardımcı olmak için tablolar kullandı. Örneğin Mısır Matematiksel Deri Rulo, diğer birim kesirlerin toplamı olarak ifade edilen birim kesirlerin bir tablosudur. Rhind Matematik Papirüsü ve diğer bazı metinler şunları içerir:2/ntablolar. Bu tablolar, yazıcıların formun herhangi bir bölümünü yeniden yazmasına izin verdi.1/n birim kesirlerin toplamı olarak

Yeni Krallık döneminde (c. 1550-1070 BC) matematiksel problemlerden edebi Papirüs Anastasi I'de bahsedilir ve Ramses III zamanından kalma Papirüs Wilbour arazi ölçümlerini kaydeder. Deir el-Medina'nın işçi köyünde , mezarların taşocağı sırasında rekor miktarda kirin çıkarıldığı birkaç ostraca bulundu.

Kaynaklar

Eski Mısır matematiğinin mevcut anlayışı, mevcut kaynakların kıtlığı tarafından engellenmektedir. Mevcut kaynaklar aşağıdaki metinleri içerir (genellikle Orta Krallık ve İkinci Ara Dönem'e tarihlenir):

Yeni Krallık'tan hesaplamalarla ilgili bir avuç matematiksel metin ve yazı var:

  • Papirüs Anastasi ben Hori adında ve Amenemope adında bir katip hitaben bir katip tarafından yazılan bir (hayali) harfi olarak yazılmış bir edebi metin. Mektubun bir parçası birkaç matematik problemini açıklıyor.
  • Ostracon Senmut 153, hiyerarşik olarak yazılmış bir metin
  • Ostracon Turin 57170, hiyerarşik olarak yazılmış bir metin
  • Deir el-Medina'dan Ostraca hesaplamalar içerir. Örneğin Ostracon IFAO 1206, muhtemelen bir mezarın taşocakçılığıyla ilgili olan hacimlerin hesaplanmasını göstermektedir.

rakamlar

Eski Mısır metinleri ya hiyeroglif ya da hiyeratik olarak yazılabilirdi . Her iki gösterimde de sayı sistemi her zaman 10 tabanında verildi. 1 sayısı basit bir vuruşla, 2 sayısı iki vuruşla, vb. gösterildi. 10, 100, 1000, 10.000 ve 100.000 sayıları kendi hiyerogliflerine sahipti. 10 numara sığırlar için bir köstebek , 100 numara sarmal bir ip ile temsil edilir, 1000 numara bir nilüfer çiçeği ile temsil edilir, 10.000 numara bir parmak ile temsil edilir, 100.000 numara bir kurbağa ile temsil edilir ve bir milyon rakamı temsil edilir. Ellerini hayranlıkla kaldırmış bir tanrı tarafından.

Mısır rakamları için hiyeroglif
1 10 100 1000 10.000 100.000 1.000.000
Z1
V20
V1
M12
D50
I8
C11
Eski Krallık prensesi Neferetiabet'in Giza'daki mezarından (MÖ 2590–2565 tarihli) levha dikilitaşı, kireçtaşı üzerine resim yapıyor, şimdi Louvre'da

Mısır rakamları Hanedan öncesi döneme kadar uzanmaktadır . Fildişi etiketleri Abydos'ta bu sayı sisteminin kullanılmasını kaydedin. Sunulan öğelerin sayısını belirtmek için sunulan sahnelerde rakamları görmek de yaygındır. Kralın kızı Neferetiabet , 1000 öküz, ekmek, bira vb.

Mısır sayı sistemi toplamsaldı. Büyük sayılar, glif koleksiyonlarıyla temsil edildi ve değer, tek tek sayıların bir araya getirilmesiyle elde edildi.

Bu sahne bir sığır sayısını göstermektedir (Egyptologist Lepsius tarafından kopyalanmıştır ). Orta kayıtta solda 835 boynuzlu sığır, hemen arkasında 220 hayvan (inek?), sağda 2235 keçi görüyoruz. Alt kayıtta solda 760 eşek, sağda 974 keçi görüyoruz.

Mısırlılar neredeyse sadece formun kesirlerini kullandılar. 1/n. Kayda değer bir istisna kesirdir2/3, matematik metinlerinde sıklıkla bulunan. belirtmek için çok nadiren özel bir glif kullanılmıştır.3/4. kesir1/2ikiye katlanmış bir keten parçasını tasvir etmiş olabilecek bir glif ile temsil edilmiştir. kesir2/32 (farklı boyutta) vuruşlu bir ağız için glif ile temsil edildi. Kesirlerin geri kalanı her zaman bir sayının üzerine bindirilmiş bir ağızla temsil edildi.

Bazı kesirler için hiyeroglif
1/2 1/3 2/3 1/4 1/5
Aa13
r
Z2
D22
r
Z1 Z1 Z1 Z1
r
Z1 Z1 Z1 Z1 Z1

Çarpma ve bölme

Mısır çarpması, çarpılacak sayının (çarpma) tekrar tekrar ikiye katlanması ve hangi iki katına çıkarılacağının seçilmesiyle (esas olarak bir ikili aritmetik biçimi ), Eski Krallık'a bağlanan bir yöntemle yapıldı. Çarpan, şekil 1'in yanına yazılmıştır; çarpılan daha sonra kendisi ilave edildi ve işlem iki katma kadar devam edildi sayısı 2 yanına yazılan sonuç yarısından büyük bir sayı verdi çarpan . Daha sonra, cevabı oluşturmak için mevcut hesaplamaların sonuçlarından hangisinin birlikte eklenmesi gerektiğini seçmek için iki katına çıkan sayılar (1, 2, vb.) çarpandan art arda çıkarılır.

Daha büyük sayılar için kısa yol olarak, çarpan aynı zamanda hemen 10, 100, 1000, 10000 vb. ile çarpılabilir.

Örneğin, Rhind Papirüsündeki (RMP) Problem 69, sanki Hiyeroglif sembolleri kullanılmış gibi (RMP'nin gerçek hiyerarşik yazısı yerine) aşağıdaki çizimi sağlar.

80 × 14 ile çarpmak için
Mısır hesaplama Modern hesaplama
Sonuç çarpan Sonuç çarpan
V20 V20 V20 V20
V20 V20 V20 V20
Z1
80 1
V1 V1 V1 V1
V1 V1 V1 V1
V20
Evet kontrol.svg 800 10
V20 V20 V20
V20 V20 V20
V1
Z1 Z1
160 2
V20
V20
V1 V1
V1
Z1 Z1 Z1 Z1
Evet kontrol.svg 320 4
V20
V20
V1 M12
Z1 Z1 Z1 Z1 V20
1120 14

Evet kontrol.svgSon cevap üretmek için birbirine eklenir ara sonuçları belirtmektedir.

Yukarıdaki tablo aynı zamanda 1120'yi 80'e bölmek için de kullanılabilir. Bu sorunu, 80'in 1120'ye ulaşan çarpanlarının toplamı olarak bölümü (80) bularak çözebiliriz. Bu örnekte bu 10 +'lık bir bölüm verecektir. 4 = 14. Bölme algoritmasının daha karmaşık bir örneği Problem 66'da verilmiştir. 365 gün boyunca toplam 3200 ro yağ eşit olarak dağıtılacaktır.

3200'ü 365'e bölme
1 365
2 730
4 1460
8 2920 Evet kontrol.svg
2/3 243+1/3 Evet kontrol.svg
1/10 36+1/2 Evet kontrol.svg
1/2190 1/6 Evet kontrol.svg

İlk olarak, yazıcı, 365'in mümkün olan en büyük katına ulaşılana kadar 365'i tekrar tekrar ikiye katlayacaktır, ki bu 3200'den küçüktür. Bu durumda, 8 çarpı 365, 2920'dir ve 365'in katlarının daha fazla eklenmesi, açıkça 3200'den büyük bir değer verecektir. dikkat 2/3 + 1/10 + 1/2190Times 365 bize ihtiyacımız olan 280 değerini verir. Dolayısıyla, 3200 bölü 365'in 8 + 'ya eşit olması gerektiğini bulduk. 2/3 + 1/10 + 1/2190.

Cebir

Mısır cebir problemleri hem Rhind matematiksel papirüsünde, hem de Moskova matematiksel papirüsünde ve diğer birçok kaynakta görülmektedir.

P6 a
M35
Aha
Dönem : Yeni Krallık
(MÖ 1550-1069)
Mısır hiyeroglifleri

Aha problemleri, eğer miktar ve kısım(lar)ın toplamı verilmişse, bilinmeyen miktarları (Aha olarak anılır) bulmayı içerir. Rhind Papirüsü da sorunların bu tip dört içerir. Moskova Papirüsü'nün 1., 19. ve 25. sorunları Aha sorunlarıdır. Örneğin, problem 19, birinden alınan bir miktarı hesaplamasını ister 1+1/2çarpı 4'e eklenir ve 10'a eklenir. Diğer bir deyişle, modern matematiksel gösterimde bizden lineer denklemi çözmemiz istenir :

Bu Aha problemlerini çözmek, yanlış pozisyon yöntemi adı verilen bir tekniği içerir . Tekniğe yanlış varsayım yöntemi de denir. Yazıcı, sorunun ilk tahminini cevabın yerine koyacaktır. Yanlış varsayımı kullanan çözüm, gerçek cevapla orantılı olacak ve yazıcı bu oranı kullanarak cevabı bulacaktır.

Matematiksel yazılar, katiplerin (en az) ortak katları kesirli problemleri tam sayılar kullanarak problemlere dönüştürmek için kullandıklarını göstermektedir. Bu bağlamda kesirlerin yanına kırmızı yardımcı sayılar yazılır.

Horus göz fraksiyonlarının kullanımı, geometrik ilerlemenin bazı (ilkel) bilgisini gösterir. Aritmetik ilerlemeler bilgisi, matematiksel kaynaklardan da açıktır.

ikinci dereceden denklemler

Eski Mısırlılar, ikinci dereceden ( kuadratik ) denklemleri geliştiren ve çözen ilk uygarlıktı . Bu bilgi Berlin Papirüs fragmanında bulunur. Ek olarak, Mısırlılar Rhind Matematik Papirüsünde bulunan birinci dereceden cebirsel denklemleri çözüyorlar .

Geometri

Moskova Matematik Papirüsünden Problem 14'ün Görüntüsü . Problem, kesik piramidin boyutlarını gösteren bir diyagram içermektedir.

Eski Mısır'dan geometri ile ilgili sadece sınırlı sayıda problem var. Geometrik problemler hem Moskova Matematik Papirüsünde (MMP) hem de Rhind Matematik Papirüsünde (RMP) görülür . Örnekler, Eski Mısırlıların çeşitli geometrik şekillerin alanlarını ve silindir ve piramit hacimlerini nasıl hesaplayacağını bildiklerini gösteriyor .

  • Alan:
    • Üçgenler: Yazıcılar, bir üçgenin alanını (RMP ve MMP) hesaplayan sorunları kaydeder.
    • Dikdörtgenler: Dikdörtgen bir arsanın alanıyla ilgili sorunlar RMP ve MMP'de görünmektedir. Benzer bir problemLondra'daki Lahun Matematik Papirüsü'nde ortaya çıkıyor.
    • Daireler: RMP'nin 48. Problemi, bir dairenin alanını (bir sekizgen ile yaklaşık olarak) ve onu çevreleyen kareyi karşılaştırır. Bu problemin sonucu, çizicinin 9 khet çapında yuvarlak bir alanın alanını bulduğu 50. problemde kullanılmaktadır.
    • Yarımküre: MMP'deki Problem 10, bir yarımkürenin alanını bulur.
  • Birimler:
    • Silindirik tahıl ambarları : Birkaç problem silindirik tahıl ambarlarının hacmini hesaplarken (RMP 41-43), problem 60 RMP'nin bir piramit yerine bir sütun veya bir koni ile ilgili olduğu görülmektedir. Dört avuç (arşın başına) bir seked (eğimin karşılıklı) ile oldukça küçük ve diktir. Lahun Matematik Papirüsü'nün IV.3 bölümünde,dairesel tabanlı bir tahıl ambarının hacmi, RMP 43 ile aynı prosedür kullanılarak bulunur.
    • Dikdörtgen tahıl ambarları: Moskova Matematik Papirüsündeki (problem 14) ve Rhind Matematik Papirüsündeki (44, 45, 46 sayıları)çeşitli problemler dikdörtgen bir tahıl ambarının hacmini hesaplar.
    • Kesik piramit (kesik): Kesilmiş piramidin hacmi MMP 14'te hesaplanır.

Seqed

RMP'nin 56. Problemi, geometrik benzerlik fikrinin anlaşıldığını gösterir. Bu problem, seqed olarak da bilinen koşma/yükselme oranını tartışır. Piramitleri inşa etmek için böyle bir formül gerekli olacaktır. Bir sonraki problemde (Problem 57), bir piramidin yüksekliği, taban uzunluğu ve sekedden (eğimin tersi için Mısır) hesaplanırken, problem 58, tabanın uzunluğunu ve yüksekliğini verir ve bu ölçümleri seqed'i hesaplayın. Problem 59'da kısım 1 sıralıyı hesaplarken, ikinci kısım cevabı kontrol etmek için bir hesaplama olabilir: Taban tarafı 12 [arşın] ve sıralı 5 avuç 1 parmak ile bir piramit oluşturursanız; onun yüksekliği nedir?

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

  • Boyer, Carl B. 1968. Matematik Tarihi . John Wiley. Princeton U. Press'i yeniden yazdırın (1985).
  • Chace, Arnold Buffum. 1927–1929. Rhind Matematik Papirüsü: Seçilmiş Fotoğraflar, Çeviriler, Transliterasyonlar ve Literal Çeviriler ile Ücretsiz Çeviri ve Yorum . 2 cilt Matematik Eğitiminde Klasikler 8. Oberlin: Amerika Matematik Derneği. (Yeniden basıldı Reston: Ulusal Matematik Öğretmenleri Konseyi, 1979). ISBN  0-87353-133-7
  • Clagett, Marshall. 1999. Eski Mısır Bilimi: Bir Kaynak Kitap . Cilt 3: Eski Mısır Matematiği . Amerikan Felsefe Derneği Anıları 232. Philadelphia: Amerikan Felsefe Derneği. ISBN  0-87169-232-5
  • Couchoud, Sylvia. 1993. Mathématiques égyptiennes: Recherches sur les connaissances matematiği de l'Egypte pharaonique . Paris: Éditions Le Léopard d'Or
  • Daressy, G. "Ostraca," Kahire Museo des Eski Eserler Egyptiennes Kataloğu Genel Ostraca hieraques , cilt 1901, sayı 25001-25385.
  • Gillings, Richard J. 1972. Firavunlar Zamanında Matematik . MİT Basın. (Dover baskıları mevcuttur).
  • Imhausen, Annette . 2003. "Gyptische Algoritmaları". Wiesbaden: Harrassowitz
  • Johnson, G., Sriraman, B., Saltztstein. 2012. "Planlar nerede? Erken Mısır matematiğinin sosyo-eleştirel ve mimari bir araştırması"| In Bharath Sriraman , Editör. Matematik Tarihinde Kavşak ve Matematik Eğitimi . Montana Matematik Meraklısı Monographs in Mathematics Education 12, Information Age Publishing, Inc., Charlotte, NC
  • Neugebauer, Otto (1969) [1957]. Antik Çağda Kesin Bilimler (2 ed.). Dover Yayınları . ISBN'si 978-0-486-22332-2. PMID  14884919 .
  • Peet, Thomas Eric. 1923. Rhind Matematik Papirüsü, British Museum 10057 ve 10058 . Londra: University Press of Liverpool sınırlı ve Hodder & Stoughton sınırlı
  • Reimer, David (2014). Bir Mısırlı Gibi Say: Eski Matematiğe Uygulamalı Bir Giriş . Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN'si 978-0-691-16012-2.
  • Robins, R. Gay. 1995. "Firavun Mısır'da Matematik, Astronomi ve Takvimler". In Eski Önasya Medeniyetleri Jack M. Sasson, John R. Baines, Gary Beckman, ve Karen S. Rubinson tarafından düzenlendi. Cilt 3 / 4 cilt. New York: Charles Schribner'in Oğulları. (Yeniden basıldı Peabody: Hendrickson Publishers, 2000). 1799–1813
  • Robins, R. Gay ve Charles CD Shute. 1987. Rhind Matematik Papirüsü: Eski Bir Mısır Metni . Londra: British Museum Publications Limited. ISBN  0-7141-0944-4
  • Sarton, George. 1927. Bilim Tarihine Giriş , Cilt 1. Willians & Williams.
  • Strudwick, Nigel G. ve Ronald J. Leprohon. 2005. Piramit Çağından Metinler . Brill Akademik Yayıncılar. ISBN  90-04-13048-9 .
  • Struve, Vasilij Vasil'evič ve Boris Aleksandrovič Turaev. 1930. Moskau'daki Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
  • Van der Waerden, BL 1961. Bilim Uyanışı". Oxford University Press.
  • Vymazalova, Hana. 2002. Kahire'den Ahşap Tabletler.... , Archiv Orientalni, Cilt 1, sayfa 27-42.
  • Wirsching, Armin. 2009. Die Pyramiden von Giza – Stein gebaut'taki Mathematik . (2 ed) Talep Üzerine Kitaplar. ISBN  978-3-8370-2355-8 .

Dış bağlantılar