Noktasal yakınsama - Pointwise convergence

Gelen matematik , noktasal yakınsama biri çeşitli duyu bir ettiği sekans fonksiyonları olabilir yakınsama belirli bir işleve. Sıklıkla karşılaştırıldığı tek biçimli yakınsamadan daha zayıftır .

Tanım

Aynı etki alanını ve kod etki alanını paylaşan bir dizi işlev olduğunu varsayalım . Kod alanı en yaygın olarak gerçeklerdir , ancak genel olarak herhangi bir metrik uzay olabilir . Dizi noktasal olarak fonksiyona yakınsar ve genellikle şu şekilde yazılır:

ancak ve ancak,

etki alanındaki her x için . Fonksiyonun noktasal limit fonksiyonu olduğu söylenir .

Özellikleri

Bu kavram genellikle tek biçimli yakınsama ile karşılaştırılır . Bunu söylemek

anlamına gelir

ortak etki alanı nerede ve . Bu, noktasal yakınsaklık iddiasından daha güçlü bir ifadedir: Her düzgün yakınsak dizi, aynı sınırlayıcı fonksiyona noktasal yakınsaktır, ancak bazı noktasal yakınsak diziler düzgün yakınsak değildir. Örneğin, if , tarafından tanımlanan bir işlev dizisi ise , o zaman [0,1) aralığında noktasal, ancak tek biçimli değil.

Bir sürekli fonksiyonlar dizisinin noktasal limiti süreksiz bir fonksiyon olabilir, ancak sadece yakınsama düzgün değilse. Örneğin,

zaman 1 değerini X bir tam sayı ve 0 olduğu X bir tamsayıdır değildir ve bu nedenle her tamsayı ile kesintilidir.

f n fonksiyonlarının değerlerinin gerçek sayılar olması gerekmez , noktasal yakınsama kavramının anlamlı olması için herhangi bir topolojik uzayda olabilir . Düzgün yakınsaklık ise, genel olarak topolojik uzaylarda değer alan fonksiyonlar için bir anlam ifade etmez, ancak metrik uzaylarda ve daha genel olarak, düzgün uzaylarda değer alan fonksiyonlar için anlamlıdır .

topoloji

Noktasal yakınsama yakınsama aynıdır ürün topoloji alanı Y X , X alanı olduğu ve Y'nin değer kümesi olup. Y kod alanı kompakt ise , o zaman Tychonoff teoremine göre , Y X uzayı da kompakttır.

Hemen hemen her yerde yakınsama

In tedbir teorisi , yaklaşık bir görüşmeler hemen hemen her yerde yakınsama dizisinden ölçülebilir fonksiyonlar bir tanımlanmış ölçülebilir uzay . Bu, hemen hemen her yerde noktasal yakınsama anlamına gelir , yani tümleyeni sıfır olan etki alanının bir alt kümesinde. Egorov'un teoremi , bir sonlu ölçü kümesinde hemen hemen her yerde noktasal yakınsaklığın, biraz daha küçük bir kümede düzgün yakınsaklık anlamına geldiğini belirtir.

Hemen hemen her yerde yapısını tanımlamaz ölçer alanı fonksiyonların alanı yakınsama nokta tabanlı topoloji bir ile ölçülebilir fonksiyonların alanı ölçer alanı (bir olsa yakınsama yapısı ). Bir topolojik uzayda, bir dizinin her alt dizisinin kendisi aynı ardıl limite sahip bir altdiziye sahip olduğunda , dizinin kendisi bu limite yakınsamalıdır.

Ancak "dört nala giden dikdörtgenler" olarak adlandırılan işlevlerin sırasını düşünün. Let , N = Taban (log 2 ve n) k = N mod 2 N . Ve izin ver

O zaman { f n } n dizisinin herhangi bir alt dizisi , kendisi hemen hemen her yerde sıfıra yakınsayan bir alt diziye sahiptir, örneğin, x = 0'da kaybolmayan fonksiyonların alt dizisi . Ancak hiçbir noktada orijinal dizi noktasal olarak sıfıra yakınsar. Dolayısıyla, ölçüdeki yakınsama ve L p yakınsamanın aksine , noktasal yakınsama hemen hemen her yerde fonksiyonlar uzayı üzerinde herhangi bir topolojinin yakınsaması değildir.

Ayrıca bakınız

Referanslar